¿Hay algún maping de$S^1$ a$S^1$ de grado impar, que no es una función impar?

Question

Quiero probar para cada función continua de$s^n$ a$s^n$ de grado impar que existe$x$ tal que$f(-x)=-f(x)$ así que utilicé esto "que la suma de dos funciones de impar grado debe ser extraño ", pero no sé si esto es realmente cierto o no. Solo sé que la suma de dos funciones impares es extraña, pero no creo que todas las funciones de grado impar tengan que ser una función extraña, así que estoy tratando de encontrar un ejemplo para esto usando una función de$s^1$ para $s^1$. Gracias por cualquier ayuda

Answer 1

$$(\cos\theta,\sin\theta) \mapsto (\cos(3\theta+\alpha), \sin(3\theta+\alpha)),$ $ donde$\alpha$ es un ángulo pequeño, gira tres veces alrededor del círculo cada vez que el argumento de la función da vueltas una vez, pero no es una función extraña.

$$ (\ cos \ theta, \ sin \ theta) \ mapsto \ left (\ cos \ left (6 \ pi \ left (\ frac \ theta {2 \ pi} \ right) ^ 2 \ right), \ sin \ left (6 \ pi \ left (\ frac \ theta {2 \ pi} \ right) ^ 2 \ right) \ right) \ quad \ text {for} 0 \ le \ theta <2 \ pi $$ también serpentea alrededor de tres veces, pero está muy lejos de ser una función extraña.