Duales en la categoría de conjuntos

Question

Sé que el % de categoría monoidal $(\text{Set},\times)$no proporciona duales. ¿Tiene sentido de ninguna manera para preguntar cómo se dobla se vería si nos obligaron a la existencia allí? ¿Hay una forma canónica para equipar una categoría cerrada cartesiana Platonicos?

¿Tiene sentido afirmar en esta categoría tendríamos cardinalities racionales? (De alguna manera esto se siente tan natural para mí.)

Answer 1

Supongo que lo que quiere decir con dual es, para cada objeto$A$, un dual$A^\bot$ tal que$\text{Hom}(A,B)\cong A^\bot\times B$ (natural en$B$). Si colocó dichos duales en la categoría de conjuntos, entonces para cada conjunto$A$ tendría$1\cong \text{Hom}(A,1)\cong A^\bot\times 1$. Si$1$ va a seguir siendo la unidad monoidal, esto da$1\cong A^\bot$ para todos$A$. Es decir, todos los conjuntos duales recién unidos tendrían que ser isomórficos para los singletons. como resultado, la ecuación requerida$\text{Hom}(A,B)\cong A^\bot\times B$ fallará la mayor parte del tiempo.