Una desigualdad que relaciona el cociente de las áreas de dos triángulos

Question

La siguiente conjetura es una versión modificada de esta pregunta:

Demostrar que, dado un triángulo con lados $a,b,c$ existe un triángulo con lados $a+2b,b+2c,c+2a$ que tiene una superficie tres veces superior a la original

Conjetura:

Si $u$ es el área de un triángulo con lados $a,b,c$ y $v$ es el área de un triángulo con lados $a+2b,b+2c,c+2a$ entonces ${\large{\frac{v}{u}}}\ge 9$ .

Observaciones:

• Para el caso equilátero ( $a=b=c$ ), obtenemos ${\large{\frac{v}{u}}}=9$ .
• Las pruebas de datos limitadas parecen apoyar la veracidad de la conjetura.
• Intentar demostrar la afirmación mediante la fórmula de Heron parece ser un desastre.

Pregunta: $\;$ ¿Es cierta la conjetura?

Answer 1

Dejemos que $x=b+c-a\geq 0$ , $y=a+c-b\geq 0$ , $z=a+b-c\geq 0$ . Dejemos que $p=\frac{1}{2}(a+b+c)$ sea el semiperímetro del triángulo de lados $a$ , $b$ , $c$ . Del mismo modo, dejemos que $P=\frac{1}{2}(A+B+C)=3p$ sea el semiperímetro del triángulo de lados $A=b+2c$ , $B=c+2a$ , $C=a+2b$ . Entonces, por la fórmula de Heron, la desigualdad es equivalente a $$ \begin{align}0&\leq \frac{v^2}{u^2}-9^2=\frac{P(P-A)(P-B)(P-C)}{p(p-a)(p-b)(p-c)}-9^2\\&= \frac{6((x^2y+y^2z+z^2x)+2(xy^2+yz^2+zx^2)-9xyz)}{xyz} \end{align}$$ que se mantiene porque por la desigualdad AGM $$x^2y+y^2z+z^2x\geq 3xyz\quad\mbox{and}\quad xy^2+yz^2+zx^2\geq 3xyz.$$