Demostrando, por contradicción, que hay infinitas $n \in \mathbb{Z^+}$ tal que $\sqrt{n}$ es irracional.

Question

Me gustaría saber si he demostrado correctamente esta afirmación utilizando la contradicción y, si no es así, recibir algunos consejos o indicaciones sobre cómo mejorarla/hacerla correcta.

Se nos pide que demostremos que hay infinitas $n \in \mathbb{Z^+}$ tal que $\sqrt{n}$ es irracional.

Prueba: $$\text{We assume, to the contrary, that there are infinitely many } n \text{ } (n \in Z^+) \text{ such that } \sqrt{n} \text{ is rational.} \\\text{Then, } \sqrt{n}=\frac{a}{b} \text{, } n=\frac{a^2}{b^2} \text{ where } a \text{ and } b \text{ are integers and } \frac{a}{b} \text{ has been reduced to lowest terms.} \\\text{Hence, } a^2=nb^2 \text{ and } b^2=\frac{1}{n}a^2\\\text{We know if } n\mid a^2 \text{ then } n\mid a \text{. It follows that } a=nk, k\in\mathbb{Z} \\ b^2=\frac{1}{n}(nk)^2=nk^2 \text{ and thus } n\mid b^2 \text{ and thus } n \mid b \\ \text{Hence, } n = \frac{nb^2}{nk^2} \\ \text{This is a contradiction given that we have assumed }a \text{ and } b \text{ to be reduced to lowest terms. }\blacksquare$$ ps. Esto no es una tarea. Las respuestas están en la parte de atrás de mi libro pero quiero mejorar.

Answer 1

¿Qué dice la afirmación que intenta demostrar? Está diciendo que el número de elementos del conjunto $\{n \in \mathbb N : \sqrt n \ \mbox{is irrational}\}$ es infinito.

¿Qué es lo contrario de esta afirmación? Naturalmente, que el número de elementos de ese conjunto es no infinito, en cuyo caso es finito. Entonces, la afirmación contradictoria es esta :

El conjunto $\{n \in \mathbb N : \sqrt n \ \mbox{ is irrational}\}$ es finito. O bien, sólo hay un número finito de números naturales $n$ tal que $\sqrt n$ es irracional.

Ahora, hay que asumir que esto es cierto, y derivar una contradicción.

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Para derivar una contradicción a esta afirmación, hay que darse cuenta, que cada no vacío conjunto finito de números naturales tiene un máximo elemento. Sabemos, por una prueba clásica por contradicción, que $\sqrt 2$ es irracional, por lo que $2$ es un elemento de nuestro conjunto temático.

Así, si el conjunto de números naturales $n$ tal que $\sqrt n$ es irracional tiene un máximo, entonces dejemos que $L$ sea ese número máximo. Así que $\sqrt L$ es irracional.

Pero, como mencionó Peter en su comentario, $2 \sqrt L$ también es irracional, y esto es igual a $\sqrt{4L}$ Así que $4L$ también pertenece al conjunto de números naturales cuyas raíces cuadradas son irracionales... ¿se puede sacar de aquí?

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Nótese que el comentario de Peter también puede utilizarse para producir infinitos miembros del conjunto, por lo que los dos argumentos , la contradicción y la prueba directa, no son muy diferentes entre sí.

Answer 2

Una idea para un tipo de prueba diferente:

Se sabe que $\sqrt{n}$ racional si y sólo si $n$ es un cuadrado perfecto.

En efecto, supongamos que $\sqrt{n} = \frac{a}{b}$ con $\gcd(a,b) = 1$ . Por lo tanto, existe $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}$ tal que $\alpha a - \beta b = 1$ .

Ahora $$0 = (a-b\sqrt{n})(\beta + \alpha \sqrt{n}) = \beta a - \alpha bn + (\alpha a - \beta b) \sqrt{n} = \beta a - \alpha bn + \sqrt{n}$$

Y por lo tanto $\sqrt{n} \in \mathbb{Z}$ así que $n$ es un cuadrado perfecto. Lo contrario es obvio.

Ahora sólo queda demostrar que el conjunto $\{n \in \mathbb{N} : n \text{ is not a perfect square}\}$ es infinito.

Para este aviso que los números de la forma $3k^2+2$ para $k \in \mathbb{N}$ nunca son cuadrados perfectos.