¿Cuál es la cobertura universal de 2 esferas para las cuales los dos polos están conectados entre sí con una línea?

Question

¿Cómo debo calcular la cobertura universal de 2 esferas para las cuales los dos polos están conectados entre sí con una línea? Creo que debería ser$ S^2 $ pero parece una dona arruinada y la cobertura universal para dona es$ R^2$

Answer 1

Tienes razón sobre el espacio que parece una dona arruinada.

El espacio de cobertura universal de esto es infinitamente muchas esferas (en ambas direcciones), de modo que el polo norte de la esfera i$^{\text{th}}$ está pegado al polo sur de la esfera (i +1)$^{\text{st}}$. El mapa de cobertura simplemente asigna cada esfera hacia abajo.

Editar: Como dice Roy, este espacio es solo homotopy equivalente a la cobertura universal. Insertar un segmento de línea entre cada esfera da la respuesta correcta.

Answer 2

¿sabe usted el universal cubrir el espacio de un círculo? que se obtiene al cortar el círculo aparte para hacer un intervalo y, a continuación, uniendo un número infinito de intervalos de extremo a extremo. Su ejemplo es homotopy equivalente a lo que se obtiene mediante la contratación de la línea a un punto, por lo tanto, un espacio obtenido mediante la identificación de los dos polos de una esfera, por lo tanto, un toro con un bucle reducido a un punto. Esto es un poco como una grasa del círculo. así, el universal cubrir el espacio se obtiene como Max Nagy, dice, por la separación de este espacio en el punto donde los polos se unen y, a continuación, pegue infinitamente muchos de ellos juntos, o de polo a polo. pero técnicamente, desde su espacio había una línea joinging los dos polos, en la universalización de la cobertura deberá introducir también una línea que une cada consecutivos par de polos. Así que creo que la respuesta es lo Max Nagy dijo pero con este extra de la familia de los segmentos de línea añadido en. Este es homotopy equivalente a Max Nagy respuesta.

Answer 3

La esfera con dos puntos identificados con una línea es homotopía equivalente a la esfera con dos puntos identificados, que a su vez es$S^2 \vee S^1$. Puede ver el último reclamo colocando la línea de unión fuera de la esfera y reduciéndola a un bucle.

Con esto, puedes construir la cubierta universal como un gráfico de cayley libre en dos generadores, pero cada nodo es una esfera .

Answer 4

En lugar de ir a través de homotopy espacios equivalentes y, a continuación, "deshacer" el homotopy de equivalencia para obtener la cobertura actual de espacio, he aquí una manera de ver lo que está pasando directamente, es decir, trabajar con homeomorphisms. Para fines de visualización, imaginar el espacio original como un simple esfera de $S$ sentado en 3 dimensiones el espacio Euclidiano, e imaginar la línea de $L$ que une los dos polos como se dibuja fuera de la esfera (donde es más fácil para mí para ver). Imaginemos, también, un meridiano $M$ de la esfera, un arco en la esfera que une los dos polos. Observe que $L\cup M$ es topológicamente un círculo, que voy a llamar a $C$ para el corto. Por lo que su espacio puede ser descrito como el resultado de tomar un círculo $C$ y pegado a una esfera $S$ mediante la identificación de un arc $M$ sobre la esfera, con un arco de círculo.

El encolado de una 2-esfera a una (agradable) de espacio a lo largo de un contráctiles conjunto no afecta el grupo fundamental, por lo que para la construcción de la cobertura universal, la tarea principal es conseguir la universalización de la cobertura de $C$; el $S$ parte va a ser fácil de manejar después.

La universalización de la cobertura de un círculo de $C$ es la línea real $\mathbb R$, y el arc $M$ $C$ corresponde, bajo la cobertura de mapa, a una secuencia infinita de intervalos cerrados $M_n\subseteq\mathbb R$ ($n\in\mathbb Z$) cuidando hasta el infinito en ambas direcciones.

Cada una de las $M_n$ necesita tener una copia de $S$ conectados a él. Estas copias son, literalmente, homeomórficos a la esfera $S$ porque $S$ ha trivial grupo fundamental por lo que puede ser cubierto solo por distintos sindicatos de homeomórficos copias de sí mismo. Así que tomar una secuencia de copias de $S_n$$S$, y asignamos a cada uno de ellos a $\mathbb R$ a la correspondiente $M_n$, la identificación de $M_n$ con un meridiano de $S_n$. Ese es el universal que cubre queremos.

En mi descripción de la cobertura universal, la que se menciona la línea de $\mathbb R$ primero y luego pegado las esferas. Uno podría, equivalentemente, describen el mismo espacio de mirar con la secuencia infinita de 2-esferas y pegar una línea a lo largo de distintos intervalos tiende a infinito. Además, desde el pegado de los intervalos ya están en las esferas, todo lo que realmente se agrega cuando le damos la línea es el de los segmentos de $\mathbb R$ entre consecutivo $M_n$'s. Estos segmentos se unen el polo norte de una esfera, se $S_n$ hasta el polo sur de la próxima, $S_{n+1}$. Así que mi descripción es equivalente a la de Max Nagy respuesta.

Por cierto, después de hacer un cálculo, me resulta útil para comprobar que realmente he conseguido, al menos, un local homeomorphism. El espacio original tenía puntos (los polos), donde es localmente no Euclidiana; un poco de barrio parece un disco con un pelo que sobresale de la media. Por lo que la cobertura universal había mejor estos puntos. Lo hace, es decir, los extremos de la $M_n$'s. Este tipo de "comprobar" me ha salvado de los errores más de una vez.