Si$a_n\sim b_n$ disminuye a$0$ y$a_{n+1}b_n-a_nb_{n+1}$ cambia de signo io, ¿implica lo mismo para$(1-a_{n+1})(1-b_n)-(1-a_n)(1-b_{n+1})$?

Question

Supongamos $a_n<b_n$ todos los $n$, ambos son estrictamente decreciente a$0$$a_n\sim b_n$. Si $A_n=a_{n+1}b_n-a_nb_{n+1}$ cambia de signo infinitamente a menudo, no se sigue que la $B_n=(1-a_{n+1})(1-b_n)-(1-a_n)(1-b_{n+1})$ también lo hace?

En cierto sentido, la implicación no deberían estar ahí, porque si bien $A_n<0$ no parece ser crucial para $B_n$, he encontrado que cada vez que $A_n>0$ tenemos $B_n<0$: el primero es equivalente a $$a_{n+1}>a_n\frac{b_{n+1}}{b_n}$$ and since for large enough $n$, $0<a_n<1, a_n<b_n<1, 0<b_{n+1}<b_n$ this is stronger than $$a_{n+1}>1-\frac{1-a_n}{1-b_n}(1-b_{n+1}),$$ equivalent to $B_n<0$. $A_n<0$ does not seem to be crucial because it should be possible to have this happen without making $a_{n+1}$ so small that $B_n$ se convierte en positivo.

Por otro lado, tal vez el hecho de que $A_n$ cambia de signo infinitamente a menudo da más peso a las instancias de $A_n<0$. No por mucho tiempo, pero he tratado de construir una simple $A_n,B_n$ contradiciendo la demanda y no he encontrado todavía. Hay, con $B_n<0$? Además, ¿cómo es la situación cambia si $a_n-b_n$ también es asumido a cambio de signo infinitamente a menudo?

Answer 1

$\def\peq{\mathrel{\phantom{=}}{}}$Tomar una arbitraria $c > 1$ y definir$$ a_n = \frac{1}{c^n + c^{\frac{3}{4} \left[ \frac{n}{2} \right] + \frac{n}{2}}}, \quad b_n = \frac{1}{c^n}. \quad \forall n \geqslant 1 $$ Es fácil comprobar que $a_n < b_n$, $a_n \sim b_n\ (n → ∞)$, y tanto $\{a_n\}$ $\{b_n\}$ estrictamente disminución en el $0$. Ahora definir$$ x_n = \frac{1}{a_n} = c^n + c^{\frac{3}{4} \left[ \frac{n}{2} \right] + \frac{n}{2}}, \quad y_n = \frac{1}{b_n} = c^n, \quad z_n = x_n - y_n,\quad \forall n \geqslant 1 $$ a continuación,\begin{align*} A_n > 0 &\Longleftrightarrow \frac{x_{n + 1}}{x_n} < \frac{y_{n + 1}}{y_n} \Longleftrightarrow \frac{c^{n + 1} + c^{\frac{3}{4} \left[ \frac{n + 1}{2} \right] + \frac{n + 1}{2}}}{c^n + c^{\frac{3}{4} \left[ \frac{n}{2} \right] + \frac{n}{2}}} < c\\ &\Longleftrightarrow c^{n + 1} + c^{\frac{3}{4} \left[ \frac{n + 1}{2} \right] + \frac{n + 1}{2}} < c^{n + 1} + c^{\frac{3}{4} \left[ \frac{n}{2} \right] + \frac{n}{2} + 1}\\ &\Longleftrightarrow \frac{3}{4} \left[ \frac{n + 1}{2} \right] + \frac{n + 1}{2} < \frac{3}{4} \left[ \frac{n}{2} \right] + \frac{n}{2} + 1\\ &\Longleftrightarrow n \text{ is even}. \end{align*} y\begin{align*} B_n < 0 &\Longleftrightarrow (a_n - a_{n + 1}) - (b_n - b_{n + 1}) + (a_{n + 1} b_n - a_n b_{n + 1}) < 0\\ &\Longleftrightarrow y_n y_{n + 1}(x_{n + 1} - x_n) - x_n x_{n + 1}(y_{n + 1} - y_n) + (x_n y_{n + 1} - x_{n + 1} y_n) < 0. \end{align*} Desde\begin{align*} &\peq y_n y_{n + 1}(x_{n + 1} - x_n) - x_n x_{n + 1}(y_{n + 1} - y_n) + (x_n y_{n + 1} - x_{n + 1} y_n)\\ &= y_n y_{n + 1}\bigl( (y_{n + 1} - y_n) - (z_{n + 1} - z_n) \bigr) - (y_n + z_n)(y_{n + 1} + z_{n + 1})(y_{n + 1} - y_n)\\ &\peq + \bigl( (y_n + z_n) y_{n + 1} - (y_{n + 1} + z_{n + 1}) y_n \bigr)\\ &= \color{blue}{y_n y_{n + 1}}\bigl( \color{red}{(y_{n + 1} - y_n)} - (z_{n + 1} - z_n) \bigr) - (\color{blue}{y_n y_{n + 1}} + y_n z_{n + 1} + y_{n + 1} z_n + z_n z_{n + 1})\color{red}{(y_{n + 1} - y_n)}\\ &\peq + \bigl( (y_n + z_n) y_{n + 1} - (y_{n + 1} + z_{n + 1}) y_n \bigr)\\ &= y_n y_{n + 1} (z_{n + 1} - z_n) - (y_n z_{n + 1} + y_{n + 1} z_n + z_n z_{n + 1})(y_{n + 1} - y_n) + (y_{n + 1} z_n - y_n z_{n + 1})\\ &= y_n y_{n + 1} (z_{n + 1} - z_n) - (y_n z_{n + 1} + y_{n + 1} z_n) y_{n + 1} + (y_n z_{n + 1} + y_{n + 1} z_n) y_n\\ &\peq - z_n z_{n + 1}(y_{n + 1} - y_n) + (y_{n + 1} z_n - y_n z_{n + 1})\\ &= y_n^2 z_{n + 1} - y_{n + 1}^2 z_n - z_n z_{n + 1}(y_{n + 1} - y_n) + (y_{n + 1} z_n - y_n z_{n + 1})\\ &= (y_n^2 - y_n) z_{n + 1} - (y_{n + 1}^2 - y_{n + 1}) z_n - z_n z_{n + 1}(y_{n + 1} - y_n), \end{align*} y\begin{gather*} \frac{y_{n + 1}^2 - y_{n + 1}}{y_n^2 - y_n} = \frac{y_{n + 1}}{y_n} \cdot \frac{y_{n + 1} - 1}{y_n - 1} > c^2,\\ \frac{z_{n + 1}}{z_n} = c^{\left( \frac{3}{4} \left[ \frac{n + 1}{2} \right] + \frac{n + 1}{2} \right) - \left( \frac{3}{4} \left[ \frac{n}{2} \right] + \frac{n}{2} \right)} = c^{\frac{3}{4} \left( \left[ \frac{n + 1}{2} \right] - \left[ \frac{n}{2} \right] \right) + \frac{1}{2}} < c^2\\ \Longrightarrow \frac{y_{n + 1}^2 - y_{n + 1}}{y_n^2 - y_n} > \frac{z_{n + 1}}{z_n} \Longrightarrow (y_n^2 - y_n) z_{n + 1} - (y_{n + 1}^2 - y_{n + 1}) z_n < 0, \end{reunir*} a continuación, $B_n < 0$ todos los $n \geqslant 1$.