$2\mathbb{Z}$ no es anillo isomorfo a $3\mathbb{Z}$, pero ¿por qué? (Verificarme)

Question

Yo quiero probar el anillo de los números enteros $2\mathbb{Z}$ no es isomorfo a $3\mathbb{Z}$. Hago esto por contradicción, supongamos $\phi$ es un isomorfismo de$2\mathbb{Z}$$3\mathbb{Z}$. Observar esta igualdad:

$$\phi(2)+\phi(2)=\phi(2+2)=\phi(2\cdot2)=\phi(2)\cdot\phi(2)$$

Deje $x=\phi(2)$ y tenemos la ecuación de $x^2-2x=0$$3\mathbb{Z}$. Estos factores en $x(x-2)=0$.

$\phi(2)=0$ no es posible, ya que cualquier isomorfismo se han $\phi(0)=0$.

Así que nos queda con $x-2=0$ que no tiene solución en $3\mathbb{Z}$.

Pregunta. Es este un argumento válido? Lo que hace el $2$ símbolo en la última ecuación denotar, si no un elemento de $3\mathbb{Z}$?

Answer 1

$x^2 - 2x = x(x-2)$ no es una factorización válido en $3\mathbb{Z}$ precisamente porque $2 \notin 3\mathbb{Z}$.

Pero usted puede concluir directamente que $x^2 - 2x = 0$ no tiene ninguna soluciones en $3\mathbb{Z}$.

Es decir, si $x = 3k$ luego

$$9k^2 = x^2 = 2x = 6k \implies 9k= 6$$

que es una contradicción.

Answer 2

Ver todo como sub anillos (no unital) de $\mathbb{Z}$ hace su argumento el trabajo.

Pero también puede escribir su ecuación como $x^2=x+x$ y enchufe en $3k$ y ver que no tiene ninguna solución.

Answer 3

Su argumento es correcto hasta$x^2 - 2x = 0$ que es suficiente para completar la prueba. Aquí hay otra forma de ver esto:

El isomorfismo de tu anillo$\phi$ es un isomorfismo de grupos abelianos que son infinitamente cíclicos. Por lo tanto, el generador$2$ of$2\mathbb{Z}$ se asigna a un generador de$3\mathbb{Z}$, es decir,$\phi(2) = \pm3$. Esto implica$\pm 6 = \phi(2) + \phi(2) = \phi(2 + 2) = \phi(2 \cdot 2) = \phi(2) \cdot \phi(2) = (\pm 3) \cdot (\pm3) = 9$, una contradicción.

Answer 4

El argumento es válido, porque$2\mathbb{Z}$ y$3\mathbb{Z}$ son subrings de$\mathbb{Z}$ y nada le impide usar este anillo más grande para hacer cálculos en.

Un argumento más simple es que la ecuación$x+x=6$ tiene solución en$3\mathbb{Z}$, pero no hay solución en$2\mathbb{Z}$.

Answer 5

Sobre tu pregunta de ¿qué hace el $2$ denotar. En un campo o un anillo con unidad, es común definir $2 = 1 + 1$, $3 = 2 + 1$ etc. Muchas de las propiedades de estos elementos son familiares, pero debe evitar asumiendo que ellos son necesariamente distinto de cero. Incluso en un campo, es muy posible que $1 + . . . + 1 = 0$. Si quieres saber más, mira hacia arriba la curva característica de un campo o un anillo.

Incluso para un anillo sin la unidad, podemos definir $2x = x + x$, $3x = x + x + x$, etc, incluso aunque no podemos identificar a $2$ con un elemento del anillo. Esto no es más extraño que $x^2 = x \times x$. $x^3 = x \times x\times x$, etc. Los dos son análogos. Para Abelian de los grupos, es común escribir la operación de suma en cuyo caso $nx$ sería utilizada en favor de las $x^n$.

Edit: mechanodroid hace que el buen momento que sus anillos no tienen unidades de ahí mi primera definición de $2$ no es aplicable. La segunda es, pero eso no es lo que usted tiene. Así, a veces es útil, pero no en este caso.