He encontrado una manera de hacerlo, pero yo no lo llamaría "fácil". Aquí es; esperemos que alguien puede mejorarlo. La mayoría de los scutwork se realiza a través de Mathematica.
Las líneas pueden ser reescrito en forma paramétrica como
$$
r(\alpha) = (\alpha, 2 \alpha, 3 \alpha) \\
s(\beta) = (\beta \beta, 2 \beta - 1) \\
t(\gamma) = (\gamma, -2 \gamma + \frac{1}{2}, -\gamma)
$$
Luego buscamos soluciones a las ecuaciones
$$
\|r(\alpha) - s(\beta)\|^2 = \|r(\alpha) - t(\gamma)\|^2 \\
\|r(\alpha) - t(\gamma)\|^2 = \|s(\beta) - t(\gamma)\|^2.
$$
para $\alpha$, $\beta$, y $\gamma$. (Estas cantidades se eleva al cuadrado para eliminar las raíces cuadradas). Tenga en cuenta que estas ecuaciones son necesarias y suficientes para que los puntos $r(\alpha)$, $s(\beta)$, y $t(\gamma)$ para formar un triángulo equilátero.
Si ampliamos estos polinomios, nos encontramos con que son equivalentes a
$$
\begin{cases} -18 \alpha \beta -12 \alpha \gamma +8 \alpha +6 \beta ^2-4 \beta -6 \gamma ^2+2 \gamma +\frac{3}{4} = 0 \\
14 \alpha ^2+12 \alpha \gamma -2 \alpha -6 \beta ^2-6 \beta \gamma +5 \beta +2 \gamma -1 = 0 \end{casos}
$$
Cualquier solución simultánea a estos polinomios proporcionará un trío de puntos para los que $r(\alpha)$, $s(\beta)$, y $t(\gamma)$ forma de un triángulo equilátero. Estos dos polinomios a cada una un hyperboloid en el espacio de todos $\alpha$, $\beta$, y $\gamma$ parámetros, y no parecen ser dos de intersección de las curvas entre ellos; por lo tanto, existen dos claras de un parámetro a las familias de los triángulos cuyos vértices vivir en $r$, $s$, $t$ respectivamente.
En el diagrama de abajo, el naranja de la superficie es el primer polinomio por encima, mientras que el azul polinomio es el segundo. La curva roja es su intersección; cualquier punto de $\{\alpha, \beta, \gamma\}$ rojo curva de rendimiento de un triángulo equilátero con un punto en cada línea. He incluido el código de Mathematica que he usado para esta parcela de abajo; si usted tiene acceso a Mathematica, yo recomendaría que usted intente ejecutar, ya que permite una mejor visualización de la estructura 3D de las curvas y superficies.
![enter image description here]()
Por desgracia, esto es lo más lejos que se puede ir en completa generalidad, sin tener que resolver relativamente alto-orden de los polinomios sobre los números reales. Sin embargo, yo era capaz de encontrar un par de conjuntos de puntos en $r$, $s$, y $t$ que tienen especialmente agradable de coordenadas: los puntos de
$$
(0,0,0), \frac{1}{3} \left(1, 1, -1\right) \frac{1}{12} \left(2 \pm \sqrt{6}, 2 \mp 2 \sqrt{6}, -(2 \pm \sqrt{6}) \right)
$$
están en $r$, $s$, y $t$ respectivamente, y forman un triángulo equilátero.
Código de Mathematica para generar la imagen de arriba:
liner[\[Alpha]_] = {1, 2, 3} \[Alpha];
lines[\[Beta]_] = {1, 1, 2} \[Beta] + {0, 0, -1};
linet[\[Gamma]_] = {1, -2, -1} \[Gamma] + {0, 1/2, 0};
poly1 = (liner[\[Alpha]] - lines[\[Beta]]).(liner[\[Alpha]] - lines[\[Beta]])
- (liner[\[Alpha]] - linet[\[Gamma]]).(liner[\[Alpha]] - linet[\[Gamma]]);
poly2 = (liner[\[Alpha]] - linet[\[Gamma]]).(liner[\[Alpha]] - linet[\[Gamma]])
- (lines[\[Beta]] - linet[\[Gamma]]).(lines[\[Beta]] - linet[\[Gamma]]);
ContourPlot3D[{poly1 == 0, poly2 == 0}, {\[Alpha], -1, 1}, {\[Beta], -1, 1}, {\[Gamma], -1, 1},
MeshFunctions -> {Function[{\[Alpha], \[Beta], \[Gamma], f}, poly1 - poly2]}, Mesh -> {{0}}, MeshStyle -> {{Red, Thick}},
PlotPoints -> 50, AxesLabel -> {\[Alpha], \[Beta], \[Gamma]}, ContourStyle -> {Opacity[0.5]}]
