¿Cómo puedo saber si una matriz es diagonalizable sabiendo solo la traza, un valor propio y un resultado del polinomio característico?

Question

Dada la matriz$A$, a$3 \times 3$ y:

$\mathrm{tr}(A) = −2$,

$\mathrm{rk}(A−2I)< 3$,

$\chi_A(1) = −8$

($\mathrm{tr}$: trace,$\mathrm{rk}$: rank, y$\chi_A(x)$: polinomio característico)

¿Cómo puedo saber si la matriz es diagonalizable? ¿Cuáles son los valores propios? Sé que dado$\mathrm{rk}(A−2I)< 3$,$2$ debe un valor propio con multiplicidad$1$, al menos. Pero no sé qué información me proporciona "$\chi_A(1)=−8$".

Answer 1

Tiene dos valores propios faltantes, distintos del autovalor conocido$2$. La primera ecuación te dice que su suma es$-4$. La última ecuación te da otra ecuación: desde$\chi_A(t) = (t-2)(t-\lambda)(t-\mu)$, conectando$t=1$ te permite resolver$\lambda$ y$\mu$.

Answer 2

El polinomio característico es$(X-2)(X^2+bX+c)$. La traza es el coeficiente de$X^2$ que es:$b-2=-2$.

La última ecuación le permite encontrar$c$.

Answer 3

Tenemos eso

• $\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=-2$

entonces podemos excluir

• $\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=2$

suponer

• $\lambda_1=\lambda_2=2\implies \lambda_3=-6$

entonces

• $\chi_A(\lambda)=(\lambda-2)^2(\lambda+6)\implies \chi_A(1)=7 $

por lo tanto $\lambda_1\neq \lambda_2 \neq \lambda_3$.