¿Por qué se puede definir un número real como un corte Dedekind, es decir, como un conjunto de números racionales?

Question

No sé si mi libro de texto está mal escrito o yo soy tonto. Pero no me atrevo a entender la siguiente definición.

Un número real es un cortar que divide los números racionales en dos clases. Sea $\mathbb{R}$ sea el conjunto de cortes. Un corte es un conjunto de números racionales $A \subset \mathbb{Q}$ con las siguientes propiedades:

i) $A \neq \emptyset$ y $A \neq \mathbb{Q}$ .

ii) si $p \in A$ y $q < p$ puis $q \in A$ .

iii) si $p \in A$ existe alguna $r \in A$ para que $p < r$ (es decir $A$ no contiene el número "mayor").

Es una traducción literal de mi libro de texto (que está escrito en esloveno). Todo parece estar bien y puedo entender todas las postulaciones excepto una. La definición dice al principio "Un número real es un corte...", pero entonces también dice "Un corte es un set de números racionales..." ¿Así que un número real es "un conjunto de números racionales"?

No es mi mala traducción, lo juro, se me da bastante bien el inglés. O el libro de texto está escrito de una manera tan enrevesada que no puedo entender bien la redacción que eligió el autor o estoy pasando algo por alto gran . ¿Podría aclarar y explicar la definición con todo detalle?

Answer 1

Como dije en mi comentario, estás en buena compañía, de hecho, en la compañía del propio Dedekind. En una carta a Heinrich Weber, Dedekind dice lo siguiente:

(...) Yo aconsejaría que por número [natural] se entienda no el clase mismo (...) sino algo nuevo (correspondiente a esta clase) que la mente crea. (...) Se trata precisamente de la misma cuestión que usted plantea al final de su carta en relación con mi teoría de los irracionales, donde dice que el número irracional no es otra cosa que el corte mismo, mientras que yo prefiero crear algo nuevo (diferente del corte) que corresponde al corte y del que prefiero decir que hace nacer, crea el corte. (Ewald, De Kant a Hilbert , vol. 2, p. 835)

Así, el propio Dedekind prefirió no identificar el número real con el corte, limitándose a decir que la mente crea de algún modo el número real que luego corresponde al corte. Esto es, sin embargo, un poco oscuro, por lo que no es de extrañar que la mayoría de los matemáticos (¡como Weber!) decidieran ignorar la sugerencia de Dedekind y simplemente identificar el número real con el corte. El razonamiento detrás de esta identificación es más o menos el siguiente.

Sabemos que cualquier campo ordenado Dedekind-completo es isomorfo al campo de los números reales. En particular, esto significa que cualquier construcción o teorema realizado en los números reales podría reproducirse dentro de un campo ordenado Dedekind arbitrario, y viceversa simplemente utilizando el isomorfismo como una "traslación" entre los campos. Por lo tanto, no importa cuáles sean las cifras reales para fines matemáticos, incluso suponiendo que exista tal cosa como el números reales, cualquier cosa que quisiéramos hacer con ellos también podría lograrse en un campo ordenado arbitrario Dedekind-completo.

Por lo tanto, si pudiéramos demostrar que los propios cortes satisfacen los axiomas para ser un campo ordenado Dedekind-completo, entonces podríamos prescindir de los números reales por completo y simplemente trabajar con los propios cortes. Y, de hecho, ¡podemos demostrar que es así! Sólo hay que demostrar que, dados dos cortes, $X$ y $Y$ Es posible definir operaciones sobre ellos que correspondan a las operaciones habituales sobre los números reales, como la suma y la multiplicación, y que después de hacerlo estas operaciones satisfagan los axiomas del campo. No es difícil ver que las operaciones obvias darán el resultado deseado (¡ejercicio!), aunque es algo laborioso. Si está interesado en ver una verificación detallada, le recomiendo que lea, por ejemplo, el Apéndice A del excelente libro de Yiannis Moshovakis Notas sobre la teoría de conjuntos que contiene un debate muy completo sobre la cuestión.

Answer 2

El corte Dedekind se divide $\mathbb Q$ en dos subconjuntos de racionales, todos los menores que el real deseado, y todos los mayores.

Estos subconjuntos infinitos se utilizan porque un real puede no ser un racional, pero puede acercarse arbitrariamente a los racionales. Y al utilizar infinitos racionales, puedes acercarte cada vez más. (Los necesitas todos porque no hay un racional "más cercano").

Por ejemplo,

$$1<\frac{14}{10}<\frac{141}{100}<\frac{1414}{1000}<\frac{14142}{10000}\cdots<\sqrt2<\cdots<\frac{14143}{10000}<\frac{1415}{1000}<\frac{142}{100}<\frac{15}{10}<2$$

Como el concepto de real sólo puede definirse utilizando conceptos ya establecidos, se define lo real como uno de estos conjuntos de racionales.

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Si este planteamiento le parece artificioso, recuerde que un racional es un conjunto infinito de pares de enteros $(kp,kq)$ donde $p,q$ son primos relativos.

A partir de esta definición, se pueden definir las operaciones básicas (suma, multiplicación, comparación...) sobre los reales, razonando sobre los subconjuntos infinitos. Pero una vez establecidas las propiedades algebraicas de estos números, se pueden manipular como si fueran entidades "atómicas".

Answer 3

¿Has visto la construcción de los números enteros (a partir de los números naturales)? Los números enteros se construyen como clases de equivalencias de pares ordenados, lo que también es "raro". Para que empieces a entender este proceso, empieza por pensar en esas definiciones como implementaciones o modelos de estructuras que (artificialmente, se puede decir, pero eso es irrelevante) mostraremos que se comportan como esperamos que se comporten para que se llamen como tales (enteros, números reales, etc.). Más adelante verás que esta distinción es sobre todo psicológica.

La conclusión es: Son formas inteligentes de mostrar la existencia de objetos que realizan la estructura que estamos idealizando. Los cortes de Dedekind son un ejemplo especialmente inteligente, como estoy seguro de que acabará apreciando.

Una forma de empezar a apreciar la ingeniosidad de esta construcción (y también de disipar la sensación negativa de artificialidad y/o confusión) es intentar definir los números reales por uno mismo. Sé crítico en dicha construcción y te darás cuenta de que muchos de tus intentos serán (muy probablemente) circulares.

Answer 4

Creo que su problema con la definición de Dedekind es más bien filosófico. Entiendes la definición, pero no te gusta. Si te sirve de ayuda, veamos otra definición de número real que podría ser más intuitiva. Una dada por Cauchy (Egreg ha señalado que esta definición se debe a Cantor):

Un número real es una clase de secuencias de Cauchy equivalentes con términos en $\mathbb{Q}$ . Sí, desgraciadamente todavía no podemos deshacernos de la idea de representar un número real mediante un conjunto.

Dos secuencias de Cauchy son equivalentes si la diferencia entre ellas va a $0$ . La idea es sencilla. Sabes que un número real tiene una expansión decimal. Por ejemplo:

$$\sqrt{2} = 1.4142135623730950488$$

Por lo tanto, se puede definir una secuencia de números racionales que converge a $\sqrt{2}$ :. $$a_1=1,a_2=1.4,a_3=1.41,a_4=1.4142$$ y así sucesivamente.

La cuestión es que esta secuencia de números racionales converge a un número que no es racional. ¡Esto demuestra que los números racionales tienen agujeros!

¿Pero qué tiene de bueno una secuencia de Cauchy? Una sucesión de Cauchy es una sucesión cuyos términos se acercan cada vez más entre sí. Por tanto, esperamos que converja a algo si no hay un "agujero" en nuestro espacio. Si hay un agujero, no podemos converger a él. Pero podemos añadirlo manualmente/artificialmente a nuestro espacio original y "completar" nuestro espacio. Así es como se obtienen los números reales a partir de los racionales en el análisis real: como la terminación de los números racionales con la métrica euclidiana.

Answer 5

Descubrirás que todo tipo de cosas que parecen obvias se definen de hecho como conjuntos; un aspecto de esto es la forma en que los fundamentos lógicos de las matemáticas se refieren a menudo a la teoría de conjuntos.

De hecho, si se construyen las matemáticas a partir de la teoría de conjuntos, se encuentra que los números naturales se definen como conjuntos, y éstos se generalizan a los números ordinales, que incluyen conjuntos infinitos.

Entonces cuando definimos los números racionales queremos $\frac 12=\frac 24=\frac 36=\dots$ y una forma de hacerlo es definir un número racional como una clase de equivalencia (un conjunto) de pares ordenados de números enteros.

Recuperamos la forma normal de ver las cosas dando nombres a estos conjuntos (así nombramos los números que utilizamos), y tendemos a olvidar la estructura subyacente una vez que hemos comprobado que todo está bien definido.

La importancia de la construcción Dedekind mediante cortes es que construye una colección de números que tienen las propiedades que esperamos y deseamos. De hecho, podemos demostrar que (dada la definición correcta) cualquier colección de objetos que tenga las propiedades de los números reales es isomorfa a los reales -tiene esencialmente la misma estructura y las mismas propiedades y no hay sorpresas. Pero todavía necesitamos saber que esa colección de objetos existe, y eso es lo que muestra Dedekind. Una vez que tenemos estas propiedades con la unicidad y la existencia, podemos, de hecho, elegir nuestros nombres favoritos para los objetos con confianza.