¿Espera que "pensar fuera del libro" al contestar los ejercicios de Courant ' s diferencial y cálculo Integral?

Question

Estoy leyendo Courant del Cálculo Diferencial e Integral, no es esta sesión de ejercicios:

Mi problema aquí es que antes de que habla acerca de los números racionales, por lo que es necesario para ellos para ser extendido, habla un poco acerca de los números reales y su representación como infinitos decimales, la expresión de números en otras escalas de $10$, las desigualdades y el Schwarz Desigualdad. Mi pregunta es: Se supone que vamos a probar todas estas usando sólo lo que se le dio antes en el libro? Tenemos dos clases de ejercicios:

• De ejercicios en los que es obvio que usted necesita lo que fue dada anteriormente: es bastante obvio que para resolver - por ejemplo - $6,8,etc$ usted puede utilizar lo que se dio en las secciones acerca de las desigualdades, Schwarz' la desigualdad, etc.

• Ejercicios en los cuales es no obvio que usted necesita lo que fue dada anteriormente: por ejemplo, Para solucionar $1.a$, he utilizado el común de la prueba con la factorización de números enteros, $1d$ de las necesidades de la prueba racional de las raíces, que no fue dado anteriormente a menos que ella estaba bajo algún disfraz, $2$ puede ser que necesite algo más, pero he estado pensando si el Schwarz' la desigualdad podría ser utilizado para probar, he estado haciendo la misma (Schwarz) para el resto de los ejemplos, sin éxito.

Esto es importante para mí, porque no estoy seguro de qué herramientas puedo utilizar y sé que no podrían ser algunas de out-of-the-box técnica en la que es mucho más fácil de probar cosas, por ejemplo: Para los ejemplos en $5c$, podría utilizar máximos/mínimos a partir de una sola variable de cálculo, para $5a,c$ podría utilizar máximos/mínimos de cálculo multivariable, pero que tomaría toda la diversión de ella.

Answer 1

¿Para que problema exactamente lo que quieres ver una solución?

La prueba de $10$.

Es sólo la desigualdad de triángulo para $\Delta ABO$,

donde $A(a_1,a_2,...,a_n)$, $B(b_1,b_2,...,b_n)$ y $O(0,0,...,0)$: $$AB\leq OA+OB.$ $

Podemos probarlo por C-S si lo desea.

De hecho, después de la cuadratura de ambos lados tenemos que demostrar que $$\sum_{i=1}^nai^2+\sum{i=1}^nbi^2+2\sqrt{\sum{i=1}^nai^2\sum{i=1}^nbi^2}\geq\sum{i=1}^n(a_i-bi)^2$ $ o % $ $$\sqrt{\sum{i=1}^nai^2\sum{i=1}^nbi^2}\geq-\sum{i=1}^na_ibi,$que es cierto porque % $ $$\sqrt{\sum{i=1}^nai^2\sum{i=1}^nbi^2}\geq\sqrt{\left(\sum{i=1}^na_ibi\right)^2}=|\sum{i=1}^na_ibi|\geq-\sum{i=1}^na_ib_i.$hecho!

Answer 2

Se supone que vamos a probar todas estas usando sólo lo que se le dio antes en el libro?

Ya que es un libro de cálculo, quiero suponer que nada de precálculo incluyendo álgebra y la trigonometría es la feria de juego a utilizar.

$1d$ de las necesidades de la prueba racional de las raíces, que no fue dado anteriormente

En mi opinión, este cae bajo el álgebra/precálculo paraguas. De todos modos, que esencialmente puede derivar de la raíz racional teorema de la misma manera se demostró que $\sqrt{2}$ es irracional sin usar explícitamente el racional de la raíz teorema de $x^2-2=0$.

$2$ puede ser que necesite algo más, pero he estado pensando si el Schwarz' la desigualdad

Recuerde que el $\tan(\alpha-\beta)$ la fórmula, y el uso que $\tan(\pi / 3)$ es irracional.

en $5c$, podría utilizar máximos/mínimos a partir de una sola variable de cálculo

Más fácil: escribir como $\displaystyle\,x^2\left(x^2+\frac{1}{x^2}-3\left(x+\frac{1}{x}\right)+4\right)=x^2(y^2-3y+2)\,$ donde $\displaystyle\,y=x+\frac{1}{x}\,$.

para $5a,c$ podría utilizar máximos/mínimos de cálculo multivariable

Más fácil: tenga en cuenta que, por ejemplo,$\displaystyle\,x^2+xy+y^2=\frac{x^3-y^3}{x-y}\,$.