Convergencia para $\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n(n+2)7}{\sqrt[4](n!)}$

Question

Determinar si la serie es convergente o divergente: $\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n(n+2)7}{\sqrt[4](n!)}$

Demostrar mediante la comparación directa de la prueba, o el límite de la prueba de comparación.

Lo que tengo hasta ahora es el siguiente: Al principio parece como una suma que deberían converger, pero ni idea de cómo demostrarlo.

Me di cuenta que se puede sacar 7 de la fracción y por las "leyes de Sumas de dinero" sin cambiar su convergencia. Por otra parte, he tratado de separar la Suma de dos Cantidades: $\frac{n*3^n}{\sqrt[4](n!)}$ $\frac{2*3^n}{\sqrt[4](n!)}$ y para demostrar de forma individual para cada uno de ellos de la convergencia. pero de nuevo sin éxito.

agradecería su orientación y ayuda

Answer 1

Si eliges $b_n=\frac{1}{n^2}$ para comparar luego con

$$\lim_{n\to \infty} \frac{a_n} {b_n} =0$$

por prueba de la comparación del límite. Así que converge la serie $\sum_n a_n$.