¿Es$d(x,y) = (x-y)^2$ una métrica en$\Bbb R$?

Question

Para$x,y,z \in \Bbb R$, defina$d(x,y):= (x-y)^2$

¿Esto es una métrica en$\Bbb R$?

Está claro que$d(x,x)=0$ y$d(x,y)=d(y,x)$ para todos$x,y \in \Bbb R$.

La desigualdad del triángulo parece tener una contradicción [$d(x,z) \leq d(x,y) +d(y,z)$] Si dejo$x=1$,$y=0$ y$z=-1$, entonces tendré$(1+1)^2 = 4 > (1-0)^2 + (0+1)^2 = 2$.

Entonces, ¿es este$d$ una métrica? Si es así, ¿cómo puedo probarlo?

Answer 1

La función$d$ definida no es una métrica. La desigualdad del triángulo falla, y tú mismo muestras un contraejemplo. Buen trabajo.