Cómo simplificar esta ecuación con respecto a los números pronéricos para soluciones enteras

Question

Un prónica número es un número que puede ser expresado como el producto de dos enteros positivos consecutivos. Por ejemplo, $42 = 6 \cdot 7$ es un prónica número. Me he interesado en la solución de la secuencia de todas las prónica números de $x_{n}$ tal que $2x_{n}$ es también un prónica número.

Esta es, esencialmente, a continuación, la solución de la ecuación de $\dfrac{m(m+1)}{n(n+1)} = \dfrac{1}{2}$ por entero positivo soluciones, creo. Mi primer pensamiento fue para tomar una puramente enfoque computacional, y generar una lista de todos los prónica números hasta cierto límite y les compruebe si cada prónica número $\times 2$ estaba en mi lista, pero esto es demasiado costoso y parece que a mí no me debe algo de matemáticas para simplificar mi problema.

Eché un vistazo a la generación de la función de prónica números, y lo encontré $\dfrac{2x}{(1-x)^{3}}$. ¿Hay alguna manera de que pueda explotar el poder de la serie de fracciones de la representación de mi problema o algo mas, de forma más concisa de expresar entero soluciones a mi problema?

Answer 1

Mateo Conroy link probablemente le ofrece todo lo que usted necesita saber en la práctica, pero aquí es un poco de teoría, procedentes de los siguientes fenómeno general: configuración de dos cuadráticas igual a los demás a menudo se reduce a una "ecuación de Pell".

Aquí tenemos a $n(n+1)=2m(m+1)$; completando el cuadrado da $(2n+1)^2 - 2(2m+1)^2 = -1$. En otras palabras, queremos que las soluciones de la ecuación de $x^2-2y^2=-1$ donde tanto $x$ $y$ son impares.

La ecuación de $x^2-dy^2=C$ se llama una ecuación de Pell (aunque debería haber sido nombrado después de mucho antes de los matemáticos), y un método para resolverlos mediante fracciones continuas es bien conocida y que vale la pena aprender. El caso de $C=\pm1$ es particularmente agradable. Por otra parte, si hay una solución, hay infinitamente muchos, incluso de comenzar con la congruencia de restricción $x\equiv y\equiv1\pmod2$.