Análisis Matemático 2nd ed. - Apostol, ejercicio 4.2

Question

Si $a_{n+2}=(a_{n+1}+a_n)/2$ por cada $n\geq1$, muestran que $a_n \to (a_1+2a_2)/3$.

Ahora, a partir del hecho de que $a_{n+2}-a_{n+1}=(a_n-a_{n+1})/2$ y el uso de $b_n=a_{n+1}-a_n$ puedo obtener $$b_{n+1}=\frac{1}{2}b_n ⇒ b_{n+1}=\frac{1}{2^n}b_1$$ Now I sum the two sides in this way $$\sum_{k=2}^{n+1}b_k=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n b_k$$ La sustitución de la espalda $b_k$y tratando de encontrar el límite de esta secuencia como $n\to\infty$ I get $$l=2a_2-a_1$$

Me parece claramente equivocado. Puedo demostrar que la sucesión es de Cauchy y converge (porque estamos en el espacio Euclidiano), pero no puedo encontrar el límite correcto. Por qué?

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Edit: Ya he descubierto por qué tengo el mal límite (leer los comentarios), me gustaría saber si yo podría haber resuelto este problema sin el uso de esa "suma truco", que me parece no es muy intuitiva. Esta secuencia es un resonador de uno, por lo tanto no podemos usar el teorema de convergencia monótona.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Parece que$b_k$ te ha causado problemas. Si usa solo los siguientes hechos,

ps

Entonces, tenemos$$\sum_{k=1}^{n}a_{k+1}-a_{k}=a_{n+1}-a_1$, y podemos concluir que$\sum_{k=1}^{n}a_{k+2}-a_{k+1}=\sum_{k=1}^n (a_k-a_{k+1})/2$. Ahora puedes ver que$a_{n+2}-a_2=-\frac{1}{2}(a_{n+1}-a_1)$.