Si

Question

<blockquote> <p>Si %#% $ de #% demostrar que $$\sin A+\sin B+\sin C=\cos A+\cos B+\cos C=0,$ $</p> </blockquote> <hr> <p>Mi solución:<br>De la dada, $$\cos 3A+\cos 3B+\cos 3C=3\cos(A+B+C).$ $</p> <p>Ahora, L.H.S$$\cos^3A+\cos^3B+\cos^3C=3\cos A\cos B\cos C$$ $$=\cos3A+\cos3B+\cos3C$ $ $$=4\cos^3A-3\cos A+4\cos^3B-3\cos B+4\cos^3C-3\cos C$ $</p> <p>Aquí termina mi solución. ¿Cómo debo completar?</p> <p><strong>Nota:</strong> No estoy autorizado a usar números complejos en mi nivel. Así, por favor me ayude solucionar este problema sin utilizar números complejos.</p>

Answer 1

tenemos $$sinA+sinB=-sinC$$ and $% $ $cosA+cosB=-cosC$escuadrado y agregar ambos obtenemos

$$2+2cos(A-B)=1$ $ que es

$$cos(A-B)=\frac{-1}{2}$$ $\implies$

$$A-B=\frac{2\pi}{3}$ $ del mismo modo

% $ $$B-C=\frac{-4\pi}{3}$y

$$C-A=\frac{2\pi}{3}$$

Ahora $$cos3A=cos\left(3\left(B+\frac{2\pi}{3}\right)\right)=cos(3B+2\pi)=cos3B$ $

del mismo modo $$cos3C=cos3B$ $

Por lo tanto

$$cos3A+cos3B+cos3C=3cos3A=3cos(A+A+A)=3cos\left(A+B+\frac{2\pi}{3}+C-\frac{2\pi}{3}\right)=3cos(A+B+C)$$

Answer 2

$\cos (A+B+C)=\cos (A+B) \cos C- \sin (A+B) \sin C \ = (\cos A \cos B -\sin A \sin B) \cos C -( \sin A \cos B +\cos A \sin B) \sin C \ =\cos A \cos B \cos C- \sum_{cyc} \sin A \sin B \cos C $

$( \sin A+ \sin B)^2= (-\sin C)^2 , (\cos A +\cos B )^2=(-\cos C)^2 \ \implies 2+ 2\sin A \sin B +2 \cos A \cos B =1 \ \implies \sin A \sin B = -\cos A \cos B -\dfrac{1}{2} \ \implies \sum{cyc} \sin A \sin B \cos C =\sum{cyc} (-\cos A \cos B -\dfrac{1}{2})\cos C \ =-3 \cos A \cos B \cos C -\dfrac{1}{2} (\cos A + \cos B + \cos C)=-3 \cos A \cos B \cos C$

Answer 3

La trigonometría no es necesario aquí.

Usted tiene tres vectores unitarios con suma $0$, lo cual sólo puede ocurrir si los vectores son los lados de un (orientado a) triángulo equilátero en un cierto orden. Geométricamente esta es la declaración que una unidad círculo centrado en otra unidad círculo cruza en puntos de $\pm 60$ grados desde el centro del primer círculo.

Pero en ese caso $A,B,C$ son (en orden) igual a $\theta, \theta - 120, \theta + 120$ para algunos ángulo de $\theta$, y tenemos el resultado más fuerte que $3A = 3B = 3C = (A+B+C) = 3\theta$ como los ángulos. Por supuesto, los senos y los cosenos de los ángulos también será igual y esto implica la fórmula.

Answer 4

Sugerencia: de todos modos se trata de una solución con números complejos. La solución sin los números complejos se puede deducir de aquí, utilice el fórmula $e^{ix}=cos(x)+isin(x)$ y calcular la parte real en etapa del siguiente método.

es equivalente a $cos(A)+cos(B)+cos(C)=sin(A)+sin(B)+sin(C)=0$ $e^{iA}+e^{iB}+e^{iC}=0$.

$e^{iA}+e^{iB}+e^{iC}=0$ implica $(e^{iA}+e^{iB}+e^{iC})^3=0$.

Utilizamos la identidad:

$(a+b+c)^3 = a^3+3a^2b+3a^2c+3ab^2+6abc+3ac^2+b^3+3b^2c+3bc^2+c^3$

Así tenemos:

$e^{3iA}+ 3e^{2iA}e^{iB}+3e^{2iA}e^{iC}+3e^{iA}e^{2iB}+6e^{i(A+B+C)}+3e^{iA}e^{2iC}+e^{3iB}+3e^{2iB}e^{iC}+3e^{iB}e^{2iC}=0$

$=e^{3iA}+e^{3iB}+e^{3iC}+3e^{iA}e^{iB}(e^{iA}+e^{iB})+3e^{iA}e^{iC}(e^{iA}+e^{iC})+3e^{iB}e^{iC}(e^{iB}+e^{iC})+6e^{i(A+B+C)}=0$

Aquí utilizamos $e^{iA}+e^{iB}+e^{iC}=0$ que implica $e^{iA}e^{iB}(e^{iA}+e^{iB})=-e^{iA}e^{iB}e^{iC}$.

Deducimos

$e^{3iA}+e^{3iB}+e^{3iC} -3e^{iA}e^{iB}e^{iC}-3e^{iA}e^{iB}e^{iC}-3e^{iA}e^{iB}e^{iC}+6e^{i(A+B+C)}=0$.

$e^{3iA}+e^{3iB}+e^{3iC} = 3(e^{iA}+e^{iB}+e^{iC})$

así $cos(3A)+cos(3B)+cos(3C)=3(cos(A)+cos(B)+cos(C))$.