Una pregunta sobre las proyecciones del espacio de medida producto

Question

Estoy considerando el espacio $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ del valor real de las secuencias con el sigma-álgebra $\mathcal{F}$ generado por los conjuntos de la forma

$$\{\omega \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} : \omega_k \in B\}$$

como $k$ rangos a través de $\mathbb{N}$ $B$ a través de los subconjuntos de Borel $\mathbb{R}$. Deje $\mathcal{F}'$ ser el sub-sigma álgebra generada por los conjuntos

$$\{\omega \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} : \omega_k \in B\}$$

como $k$ rangos a través de $k \geq 2$ $B$ a través de los conjuntos de Borel.

Mis preguntas muy sencillas, cómo demostrar que:

$$\{\omega: \omega_1 = 0\} \notin \mathcal{F}' .$$

Mi problema es que no se puede escribir un 'típico' en el elemento de la RHS de forma explícita. Es la única manera de hacer esto por inducción transfinita?

Muchas gracias por tu ayuda.

EDIT: soy consciente de que es posible definir una medida de probabilidad sobre el espacio y se derivan de la contradicción $1/2=1/4$ con independencia de $\mathcal{F}'$ y el sigma-álgebra generada por la primera coordinar la asignación. Sin embargo, no me parece que esta respuesta satisfactoria, ya que crea lo que parece una extraña estructura.

Answer 1

Definir

$$ \Sigma := \{M \subconjunto \Bbb{R}^\Bbb{N} \, \mid \, \forall \omega \en \Bbb{R}^\Bbb{N} \, \forall x \in \Bbb{R} : \omega \M \Leftrightarrow \omega^x \in M\}, $$

donde$(\omega^x)_1 = x$$(\omega^x)_k = \omega_k$$k \geq 2$.

Intuitivamente, $\Sigma$ contiene todos los subconjuntos de a $\Bbb{R}^\Bbb{N}$ que "no dependen de la primera componente de sus elementos".

Ahora

1. mostrar que $\Sigma$ $\sigma$- álgebra que contiene todos los generadores.
2. a la conclusión de $\mathcal{F}' \subset \Sigma$.
3. espectáculo $\{\omega \, \mid \, \omega_1 = 0\} \notin \Sigma$.
4. Terminar la prueba.

EDIT: Esto es a menudo una buena manera de demostrar que un determinado conjunto no está contenida en un $\sigma$-álgebra: Encontrar una propiedad que todos sus generadores de satisfacer, que el conjunto en cuestión no satisface y, finalmente, comprobar que todos los conjuntos con su forma de propiedad de un $\sigma$-álgebra.