Vamos a empezar con un par de referencias para tener una idea:
- Daniel Goldwater: Armónica En Voladizo
- Libro De Apilamiento Problema
- Bloques de apilamiento problema
- Serie armónica y Ladrillos
Interesantes cuestiones relacionadas con:
Deje que la longitud de los bloques en la pila será de dos ($= 2$ en una cierta unidad física) .
Se supone que cada bloque tiene una masa igual a uno ($= 1$ en una cierta unidad física) .
Entonces el centro de gravedad de un solo bloque está dado por: $Z_1 = 1$ .
Supongamos que el centro de gravedad de la primera $(n)$ bloques está dado por $Z_n$ ,
a continuación, añadir una cuadra y encontrar el nuevo centro de gravedad $Z_{n+1}$ . Lugar
el nuevo bloque con su lado izquierdo por debajo de la edad de los bloques, de tal manera que
se puede contraer, es decir, del lado izquierdo, exactamente a $Z_n$ .
$Z_{n+1}$ está dada por la masa de la anterior $(n)$ bloques veces el viejo centro
de la gravedad, además de una distancia igual a la edad del centro de gravedad (de modo que
los bloques no se derrumbe), además de uno de los tiempos (= centro de gravedad
de la recién agregado bloque veces su masa). El conjunto debe ser dividido por
el nuevo número de bloques. Por tanto, la fórmula se convierte en:
$$
Z_{n+1} = (n.Z_n + Z_n + 1)/(n+1) \quad \Longrightarrow \quad Z_{n+1} = Z_n + \frac{1}{n+1}
$$
Comenzando con $n = 0$ $Z_0 = 0$ esto se convierte en:
$$
Z_1 = 1 \; , \; Z_2 = 1 + 1/2 \; , \; Z_3 = 1 + 1/2 + 1/3 \; , \;
Z_4 = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 \; , \; \cdots
$$
que es, precisamente, la Serie Armónica.
Donde $Z_4 = 25/12$ y plazos posteriores a $> 2$ (= longitud de bloque único), sin embargo, la cosa no se caiga.
Pero lo que realmente estamos buscando es una continua aproximación de las
Armónica En Voladizo.
$$
\begin{array}{ll}
y = 0 & x = 0 \\
y = -1 & x = 1 \\
y = -2 & x = 1 + 1/2 \\
y = -3 & x = 1 + 1/2 + 1/3 \\
y = -4 & x = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/5 \\
...........&................................ \\
y = -n & x = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n \\
y = -(n+1) & x = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n + 1/(n+1) \end{array}
$$
Se ve que $\;y(n+1) - y(n) = [ x(n+1) - x(n) ]\, y(n+1)$ .
Para un gran $(n)$ , las diferencias finitas $[ x(n+1) - x(n) ]$ se vuelven más pequeños
y el más pequeño y el cociente $[ y(n+1) - y(n) ] / [ x(n+1) - x(n) ]$ es
una aproximación del cociente diferencial $dy/dx$ . Por lo tanto $dy/dx = y$ .
La solución de esta ecuación diferencial es: $\;y = c \cdot \exp(x)$ . A partir de la
tabla anterior, podemos leer que $c < 0$ . Una especie de mejor ajuste entre la pila
de ladrillos en la Armónica y Voladizo esta función ha sido utilizado para
determinar la constante de $(c)$ . Un mínimo de plazas de minimización procedimiento
ha sido utilizado para este propósito:
$$
\sum_{k=1}^N \left[\; y_k - c e^{x_k}\; \right)^2 = \mbox{mínimo}(c)
$$
La diferenciación de a $(c)$ e igualando el resultado a cero, a continuación, los resultados en:
$$
c = \frac{\sum_{k=1}^N y_k.e^{x_k}}{\sum_{k=1}^N e^{2\,x_k}}
$$
Donde $y_k = -1, -2, -3, .. , -N$ .
Y $x_k = 1 \, ,\, 1 + 1/2 \, ,\, 1 + 1/2 + 1/3 \, ,\, \cdots \, ,\, 1 + 1/2 + 1/3 + .. + 1/N $
Aquí está el programa que calcula la constante:
programa de LS;
función konstante : doble; { Menos El Cuadrado De Mejor Ajuste } const N : integer = 10000000; var y : integer; x,u,v,p : doble; comenzar x := 0; u := 0; v := 0; para y := 1 hasta N hacer comenzar p := exp(x); x := x + 1/y; u := u + y*p; v := v + p*p; end; konstante := u/v; end;
comenzar Writeln('|c| =',konstante); final.
De salida (valor absoluto) :
|c| = 0.561459525677516
El resultado se muestra en la siguiente imagen, 50 ladrillos. Dos mejor ajuste exponencial las funciones se muestran en $\color{red}{red}$ . El mejor ajuste exponencial de la función de el derecho puede ser formado a partir de la que se ajuste mejor función exponencial a la izquierda por la traducción el último largo de una distancia de dos: $c\,\exp(x) \; \to \; c\,\exp(x-2)$ . Por lo tanto, atención puede ser restringido a la izquierda exponencial.
Hasta ahora tan bueno: tenemos una aproximación numérica para el mejor ajuste constante en la función exponencial (a la izquierda). Pero la pregunta es: ¿puede la constante $c$ en la conjetura mejor ajuste de la función de ser determinado exactamente ?
