Enrolla una elipse sobre otra: ¿Lugar del centro alguna vez un círculo?

Question

Dejemos que $E_1$ sea una elipse fijada en el plano. Sea $E_2$ ser una segunda elipse, posiblemente diferente, que ruede sin deslizamiento fuera de $E_1$ tocando perímetro a perímetro. Sea $c_2(t)$ sea el centro de $E_2$ en función del tiempo $t$ , donde $t$ mide el progreso de la rodadura.

Q . ¿Es el locus $c_2(t)$ nunca un círculo exacto cuando es no el caso de que ambos $E_1$ y $E_2$ ¿son círculos?

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          Imagen: Erik Mahieu Demostración de Mathematica .

Parece probable que la respuesta sea No pero tal vez se pueda "anular" inteligentemente dos excentricidades...

Answer 1

(Supongo que la ecuación paramétrica habitual $(a\cos t\quad b\sin t)^\top$ para la elipse).

En el caso general de las elipses no congruentes, las arclitudes inconmensurables excluirán sin duda un lugar circular.

Cuando las elipses fijas y rodantes son congruentes, el lugar del centro es el curva del pedal de la elipse con respecto a su centro, que es una curva cuártica con la ecuación cartesiana, $(x^2 + y^2)^2 = 4 a^2 x^2 + 4 b^2 y^2$ y, por tanto, no es un círculo:

El locus se denomina "lemniscata elíptica", o el lemniscado de Booth . (Por supuesto, estoy asumiendo que $a>b$ Ciertamente, el centro de un círculo que rueda sobre otro círculo producirá un círculo).

Si quieres tener un círculo como lugar, entonces el punto de trazado debe ser el enfoque de la elipse:

En particular, el círculo así generado está centrado en $\left(-\sqrt{a^2 - b^2},0\right)$ y tiene un radio de $2a$ .

( Mathematica El código para generar las cifras está disponible si se solicita).

Answer 2

Tengo una pregunta similar, tal vez más fácil. ¿Alguien ha considerado alguna vez el lugar de los puntos cuando un círculo rueda sobre una elipse? (ejes y radios arbitrarios) Parece que debería saberse, pero no encuentro ninguna referencia.