¿Es cierto que?

Question

Es fácil ver que cualquiera de las dos entradas consecutivos en la torre de los campos que figuran a continuación son no elementarily equivalente en el idioma de los anillos: $$\mathbb{Q} \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \subseteq \mathbb{R} \subseteq \mathbb{C} \subseteq \mathbb{C}(t).$$ Por ejemplo, $\mathbb{C} \not\equiv \mathbb{C}(t)$ desde (por ejemplo) la frase $$\forall x \ \exists y \ x = y^2$$ holds in $\mathbb{C}$ but not in $\mathbb{C}(t)$. So it seems natural to ask: are $\mathbb{C}(t)$ and $\mathbb{C}(t_1,t_2)$ elementarily equivalent? More generally, for what fields $\mathbb{F}$ is it true that $\mathbb{F}(t) \equiv \mathbb{F}(t_1,t_2)$?

Hay muchos conocidos los resultados que implican la primaria de la equivalencia de campos de funciones racionales. Por ejemplo, es conocido que, dado un campo de $K$ que admite un único pedido, $K(x) \equiv \mathbb{Q}(x)$ implica $K \cong \mathbb{Q}$.

He considerado tratando de usar la Keisler-Sela teorema del isomorfismo para probar o refutar que $\mathbb{C}(t) \equiv \mathbb{C}(t_1,t_2)$, pero no es obvio en cuanto a si o no ultrapowers correspondiente a $\mathbb{C}(t)$ $\mathbb{C}(t_1,t_2)$ son isomorfos.

Answer 1

Teorema 2.40 en el libro Modelo Teórico de Álgebra por Jensen y Lenzing da una respuesta negativa. Este libro es una gran referencia para preguntas como esta, usted probablemente encontrará que es muy interesante. Para aquellos sin acceso al libro, lo voy a resumir la razón de que $\mathbb{C}(x) \not\equiv \mathbb{C}(x,y)$.

Un campo de $K$ se llama un $C_i$-campo si cada polinomio homogéneo de más de $K$ grado $d$ $n$ variables, de tal manera que $n>d^i$, tiene un trivial cero en $K^n\setminus \{(0,\dots,0)\}$. No es muy difícil demostrar que un campo es $C_0$ si y sólo si es algebraicamente cerrado.

Ahora es un hecho que el $K$ $C_i$ si y sólo si $K(x)$$C_{i+1}$. Jensen y Lenzing no probar esto, en lugar de citar el Capítulo XI de Ribenboim del libro L'arithmetique des corps, que podría ser difícil de rastrear... sería bueno que si alguien puede publicar una más accesible de referencia. En realidad se puede encontrar la dirección de la "si $K$ $C_i$ $K(x)$ $C_{i+1}$" como el Teorema de 3.3.9 en esta cosa que me escribió una vez, pero a la inversa es crucial aquí.

Ahora $K_1 = \mathbb{C}(x)$ $C_1$ pero no $C_0$ (no es algebraicamente cerrado), por lo $K_2 = \mathbb{C}(x,y)$ $C_2$ pero no $C_1$. Por lo tanto, hay algunos $d^2\geq n > d^1$ y algunos polinomio homogéneo $p(\overline{x})$ $n$ variables de grado $d$ $K_2$ a que no trivial cero en $K_2$. La fijación de $n$ $d$ y sobre la cuantificación de los coeficientes, la existencia de un polinomio es descrito por una de primer orden de la frase es verdadera en $K_2$, pero no en $K_1$.

Este argumento se generaliza para mostrar que $\mathbb{C}(x_1,\dots,x_n)\not\equiv \mathbb{C}(x_1,\dots,x_m)$ cualquier $n\neq m$.