Círculos ortogonales

Question

¿Cuál es la ecuación del círculo que es ortogonal a los círculos $x^2 + y^2 - 8x +5 = 0$ y $x^2 + y^2 +6x +5 = 0$ y pasa por el punto $(3,4)$? He pasado horas tratando de resolver esto, por favor ayúdame

Answer 1

Solo echa un vistazo a la siguiente página de Wikipedia. Dos círculos con ecuaciones: $$x^2+y^2+2g x+2f y + c=0$$ $$x^2+y^2+2g' x+2f' y + c'=0$$ son ortogonales si: $$(\clubsuit)\quad 2 gg'+2ff' = c+c',$$ por lo tanto, al asumir que la ecuación de nuestro círculo es $x^2+y^2+2ax+2by+c=0$ tenemos: $$6a = c+5 = -8a,$$ por lo tanto $a=0$, $c=-5$ y solo necesitamos imponer que nuestro círculo pase por $(3,4)$ para encontrar $b$, también.

No es difícil demostrar que $(\clubsuit)$ es equivalente a: el centro del tercer círculo se encuentra en el eje radical de los dos primeros círculos.

---

Como alternativa, simplemente puedes encontrar las inversas circulares de $(3,4)$ con respecto a los dos círculos iniciales. El círculo a través de los últimos dos puntos y $(3,4)$ es la solución:

Answer 2

Tienes $$C_1:(x-4)^2+y^2=11,\quad C_2:(x+3)^2+y^2= 4$$ buscaremos un punto $(a,0)$ en el eje $x$ de manera que las tangentes a los círculos tengan la misma longitud.

tenemos $$(4-a)^2 -11=(a+3)^2-4 \to-8a+5=6a+5\to a = 0.$$

usaremos el hecho de que si un círculo es ortogonal tanto a $C_1$ como a $C_2,$ entonces la coordenada-x del centro es $0.$

sea el centro de $C$ que es ortogonal tanto a $C_1$ como a $C_2$ y que pasa por $(3,4)$ sea $(0,b)$.

$$x^2 + (y-b)^2 = b^2 + 9-4 \to x^2+y^2 - 2by=5$$ para que pase por $(3,4)$ requiere $$3^2 + 4^2-8b=5\to b= \frac 52$$ y el círculo es $$x^2 + y^2-5y=5.$$

Answer 3

Dados dos círculos, $(c_a,r_a)$ y $(c_b,r_b)$, se puede calcular la locación de los puntos, $x$, que tienen tangentes iguales a ambos círculos de la siguiente manera.

Como se puede ver arriba, $$|x-c_a|^2-r_a^2=|x-c_b|^2-r_b^2\tag{1}$$ lo cual es equivalente a $$\left(x-\frac{c_b+c_a}2\right)\cdot(c_b-c_a)=-\frac12(r_b^2-r_a^2)\tag{2}$$ El $x$ que satisface $(2)$ forman una línea perpendicular a $c_b-c_a$ que pasa por el punto $$\begin{align} &\frac{c_b+c_a}2-\frac12\frac{r_b^2-r_a^2}{|c_b-c_a|^2}(c_b-c_a)\\[6pt] &=\frac{c_a\left(|c_b-c_a|^2+r_b^2-r_a^2\right) +c_b\left(|c_b-c_a|^2+r_a^2-r_b^2\right)}{2|c_b-c_a|^2}\tag{3} \end{align}$$ Como también se puede ver en el diagrama, cada punto en esta línea es también el centro de un círculo que es ortogonal a ambos $(c_a,r_a)$ y $(c_b,r_b)

Además, pasar a través de un punto es lo mismo que ser ortogonal a un círculo de radio $0$ centrado en ese punto.

---

Los círculos en el problema son $$\left\{\left((4,0),\sqrt{11}\right),\left((-3,0),2\right),\left((3,4),0\right)\right\}\tag{4}$$ Usando $(3)$, la locación de los puntos para los dos primeros círculos es $$(0,0)+(0,1)t_1\tag{5}$$ y la locación de los puntos para el primer y tercer círculos es $$\left(\tfrac{54}{17},\tfrac{56}{17}\right)+(4,1)t_2\tag{6}$$ La intersección de $(5)$ y $(6)$ es donde $$\left(\left(\tfrac{54}{17},\tfrac{56}{17}\right)+(4,1)t_2\right)-\left((0,0)+(0,1)t_1\right)=(0,0)\tag{7}$$ Realizamos el producto punto de $(7)$ con $(-1,4)$ para obtener $t_1=\tfrac52$. Por lo tanto, la intersección es $\left(0,\tfrac52\right)$.

Podemos comprobar que para los tres círculos, $$\left|\,c-\left(0,\tfrac52\right)\,\right|^2-r^2=\tfrac{45}4\tag{8}$$ y obtenemos que el círculo ortogonal a los tres círculos es $$\left(\left(0,\tfrac52\right),\tfrac{3\sqrt5}2\right)\tag{9}$$

---

La ecuación del círculo en $(9)$ es $$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{x^2+\left(y-\tfrac52\right)^2=\tfrac{45}4}\tag{10}$$ que también puede ser escrita como $$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{x^2+y^2-5y=5}\tag{11}$$