Prueba de convergencia de la serie $$\sum_{k=2}^{\infty} \frac{\cos(\ln(\ln k))}{\ln k}$ $, mi primer pensamiento fue relacionada con el uso de la prueba integral, pero las cosas parecen difíciles.
¿Podríamos aquí recurrimos a algunas herramientas de nicers? Gracias
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Escoge un entero $n$ y considerar todos los términos con $\ln \ln k \in [2n\pi-1 ; 2n\pi+1]$.
A continuación,$\cos(\ln(\ln k)) \ge \cos 1$$ \ln k \le e^{2n\pi+1}$, lo $a_k \ge (\cos 1) e^{-2n\pi-1}$.
A continuación, queremos estimar cuántas $k$ ha $\ln \ln k \in [2n\pi-1 ; 2n\pi+1]$. Esto es equivalente a $k \in [e^{e^{2n\pi-1}};e^{e^{2n\pi+1}}]$, cuya longitud es mayor que $C e^{e^{2n\pi+1}}$ algunos $C>0$ (debido a $e^{e^{2n\pi-1}}$ es insignificante frente a este).
Por lo tanto, la suma de los términos consecutivos es mayor que $C e^{e^{2n\pi+1}}(\cos 1)e^{-2n\pi-1}$. Y desde $e^x/x$ obtiene arbitrariamente grande como $x$ se hace más grande, se deduce que la suma de los términos consecutivos puede ser arbitrariamente grande, si usted elige $n$ es lo suficientemente alta.
Como resultado, la secuencia de $\sum_{k=0}^n a_k$ no es una secuencia de Cauchy, y no convergen.
