Limitar la distribución de $\sqrt{n}(Y_n-e)$

Question

Estoy tratando de encontrar la distribución límite de $\sqrt{n}(Y_n-e)$ $n \to\infty$, donde:

$$Yn=\left(\prod{i=1}^n U_i\right)^{-1/n}$ $ y $U_i$ es i.i.d. distribuciones uniformes en el intervalo $(0,1)$.

Hasta ahora mi pensamiento es para utilizar la fórmula para el producto de una distribución uniforme:

$$P_{U_1\cdots U_n}(u)=\frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}(\ln u)^{n-1}$$

y con las reglas de límite para obtener la solución final.

Sin embargo, siento que el camino he elegido es muy complicado y me pregunto ¿existe una solución más elegante?

Answer 1

El teorema de límite central le dará la distribución límite $\sqrt n ( \log Y_n - d)$ $d$ que depende de la distribución de los $\log U_n$. Luego se aplica el método de '' delta'' (a la función $x\mapsto \exp(x)$) para terminar el trabajo.