Encontrar el límite de $x \sin\frac{\pi}{x}$

Question

Cómo puedo encontrar el límite de las siguientes

$x\rightarrow\infty$

$x \sin\frac{\pi}{x}$

Así es

$\dfrac{\sin\frac{\pi}{x}}{\frac{1}{x}}$

Me daba el derivado usando hospital l y me.

$\dfrac{-1x^{-2} \cos \dfrac{\pi}{x}}{-1x^{-2}}$

Simplying que conseguir

$\cos \frac{\pi}{x}$ pero estoy atrapado.

otro problema que tengo es

$\dfrac{\ln(x)}{\cot x}$ $x\rightarrow0$

Así es

$\dfrac{\dfrac{1}{x}}{-\csc^2(x)}$

Pero no estoy seguro de cómo continuar.

Answer 1

OK, así que ahora usted quiere evaluar

\cos\left(\frac{\pi}{x}\right) $$ \lim_{x\to\infty} $$

¿Qué es $\lim_{x\to\infty} \dfrac{\pi}{x}$? ¿Qué obtienes si enchufa en $\cos$?

Para el segundo límite, se puede reescribir como

$$-\dfrac{\sin^2(x)} {x} =-\sin(x) \dfrac{\sin(x)} {x} $$

Usted debe saber qué $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x}$ es y luego usar el 'límite del producto es producto de los límites'.

Answer 2

Introducir una nueva variable $t = 1/x$, entonces el problema se convierte en $\lim_{t\rightarrow0}\dfrac{\sin\pi t}t$ que sabes la respuesta ($\pi$).