Esta secuencia no necesariamente contiene un número primo.
Vamos a probar que existe un número $a\in [4,5]$ tal que $\lfloor a^n \rfloor$ es incluso para todos los $n$.
La idea es que para $a\in[4,5]$, el conjunto de posibles valores de $a^2$ es el intervalo de $[4^2,5^2]$, que contiene un número par. Así, en el intervalo de $[4,5]$ hay un subrango de los valores de $a$ tal que $\lfloor a^2 \rfloor$ es incluso. Ahora, en que subrango, existe otro subrango tal que $\lfloor a^3 \rfloor$ es incluso para $a$ en este subrango, y así sucesivamente. Si nos cruzan todos estos subintervalos y el uso de los intervalos anidados teorema, vamos a encontrar a un verdadero $a$ de manera tal que todos los $\lfloor a\rfloor, \lfloor a^2\rfloor,\lfloor a^3\rfloor...$ son incluso.
Por supuesto esto es sólo la idea, ver a continuación la prueba formal (espero que no es demasiado confuso):
Comenzando con el intervalo de $I_1=[4.1,4.9]$ (elegimos este intervalo inicial para asegurarse de $a$ no es un número entero), vamos a construir inductivamente una secuencia infinita de intervalos cerrados $I_1,I_2,...$ la satisfacción de las siguientes condiciones:
1) $ I_{n} \subset I_{n-1}$
2) Si $I_n=[a_n,b_n]$, $b_n^{n+1}-a_n^{n+1}\ge3$
3) El intervalo de $[a_n^n,b_n^n]$ está contenida en un intervalo de la forma $[2k,2k+0.9]$ para algunos entero $k$.
La base de la inducción, se comprueba fácilmente. Ahora bien, dado $I_1,I_2,...I_n$, vamos a construir $I_{n+1}$:
Desde $b_n^{n+1}-a_n^{n+1}\ge3$, el intervalo de $[a_n^{n+1},b_n^{n+1}]$ debe contener un intervalo de la forma $[2k,2k+1]$ para algunos entero $k$. A continuación, defina $I_{n+1}$ $[a_{n+1},b_{n+1}]$ donde$a_{n+1}=\sqrt[n+1]{2k}$$b_{n+1}=\sqrt[n+1]{2k+0.9}$.
3) sostiene Claramente para este intervalo de
1) Sostiene que debido a $a_{n+1}=\sqrt[n+1]{2k}\ge \sqrt[n+1]{a_n^{n+1}}=a_n$, y
$b_{n+1}=\sqrt[n+1]{2k+0.9}<\sqrt[n+1]{2k+1}\le \sqrt[n+1]{b_n^{n+1}}=b_n$
Por último, 2) sostiene porque
$b_{n+1}^{n+2}-a_{n+1}^{n+2}=
(2k+1)b_{n+1}-2ka_{n+1}=2k(b_{n+1}-a_{n+1})+b_{n+1}>b_{n+1}>4$ (porque
$I_{n+1}\subset[4,5]$)
Así que hemos terminado con nuestra inducción. Ahora, por el anidada intervalos teorema, debe existir un número real $a$ tal que $a\in I_n$ todos los $n$. Pero si $a\in I_n$, $then a^n\in [a_n^n,b_n^n]$. Desde el pasado está contenido en un intervalo de la forma $[2k,2k+1]$, se deduce que para este $a$, $\lfloor a^n \rfloor$ es incluso para todos los $n$.
