Deje $f:[0,1]→\Bbb R$ se continua con $f(0)=f(1)=0$. Supongamos que para cada $x ∈ (0,1)$ existe $δ > 0$ tanto $x−δ$ $x+δ$ pertenecen a $(0,1)$$f(x) = \frac{1}{2}(f(x−δ)+f(x+δ))$ . Demostrar que $f(x) = 0$ todos los $x ∈ [0, 1]$.
Me han considerado diversos enfoques, pero no tuvo mucho éxito con ninguna de ellas. En primer lugar, traté de demostrar que $f'(x)=0$ para todo x, porque como se nos ha dado $f(0)=f(1)=0$, creo que es suficiente? Pero me encontré con problemas para demostrar que el límite existe para algunos generales $a$ en el dominio. Así que me decidí a probar y el uso de continuidad, específicamente en torno a cero: mi intuición era que para $x$ lo suficientemente cerca de 0, $f(x)$ es aproximadamente cero y traté de construir que las imágenes de las dos perturbaciones también sería cero, pero de nuevo sin mucho éxito.
Por favor, ¿podría darme alguna ayuda? Idealmente, una discusión de la clase derecha de la intuición así como un croquis de la solución. Comentarios sobre si mis planteamientos fueron en la dirección correcta también sería apreciada.
Edit: por Favor, ¿podría esto ser resuelto con el uso de la conectividad y la compacidad.
Gracias.
