Prueba de inducción de divisibilidad impar

Question

Demostrar que para impar $n>3$

$$64\ | \ n^4-18n^2+17$$

He comprobado que para $n=5$  funciona. Creo que tengo que asumir que para $2n+1$ se mantiene y se demuestra que $2n+3$  también se mantiene. ¿Alguna idea?

Answer 1

que tenemos: $$n^4-18n^2+17+64=(n^2-9)^2 $$

y porque $(n^2-9)=(n-3)(n+3)$ es divisible por $8$ para los números de impar podemos concluir.

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Por inducción :

Supongamos que $n^4-18n^2+17=(n^2-9)^2-64$ es divisible por $64$ para un número impar $n$ queremos demostrar que esto sigue siendo cierto para $n+2$ tenemos $$\begin{align}(n+2)^4-18(n+2)^2+17+64&= ((n+2)^2-9)^2\\ &=(n^2-9+4(1+n))^2 \\ &=(n^2-9)^2+2.4(1+n)(n^2-9)+2.16.(1+n)^2\end{align}$$

y porque $n$ es impar tenemos $2$ divide $(1+n)$ y por hipótesis de inducción $8$ divide $(n^2-9)$ y $64$ divide $(n^2-9)^2$ que implica el resultado.

Answer 2

Si $n=2k+1$ tenemos $$ \begin{align} n^4-18n^2+17 &=(2k+1)^4-18(2k+1)^2+17\\[6pt] &=16k^4+32k^3-48k^2-64k\\ &=384\binom{k}{4}+768\binom{k}{3}+320\binom{k}{2}-64\binom{k}{1}\\ &=64\left[6\binom{k}{4}+12\binom{k}{3}+5\binom{k}{2}-\binom{k}{1}\right] \end{align} $$ Esto indica que $64$ divide $n^4-18n^2+17$ para todos los impar $n$ .

Answer 3

En primer lugar, observamos que,

$$n^4-18n^2+17=(n-1)(n+1)(n^2-17)$$

Ahora bien, como $n\gt 3$ es un valor impar, utilice $n=2k+1~,~k\geq 2~,k\in\Bbb{Z}$ . Esto hace que nuestra expresión,

$$2k(2k+2)((2k+1)^2-17)=4k(k+1)(4k^2+4k-16)=16k(k+1)(k^2+k-4)$$

Para cualquier $k\geq 2$ Uno de los $k$ o $k+1$ está en paz.

Caso 1 (k=Par): Si $k$ es par, tenemos $k^2+k-4$ también desde $k,k^2,4$ todos son pares y obtenemos el resto $4$ para acompañar a $16$ y por lo tanto $64|n^4-18n^2+17$ donde $n=2k+1~,~k\geq 2\textrm { is even.}$

Caso 2 (k=impar): Si $k$ es impar, tenemos $k+1$ incluso y desde $k^2,k$ ambos son impar y $4$ es par, también tenemos $k^2+k-4$ incluso. Por lo tanto, este caso también funciona y tenemos $64|n^4-18n^2+17$ donde $n=2k+1~,~k\geq 2\textrm { is odd.}$

Todos los casos se completan y tenemos en general,

$$64|(n^4-18n^2+17)~,~\forall~n\gt 3~\land~n\textrm{ is odd}.$$

$$\Bbb{Q.E.D}$$

Answer 4

$\ f(n) = n^4\!-18n^2\!+17\, =\, \overbrace{(n^2\!-\!1)^2}^{\large (\color{#c00}8k)^{\color{#c00}2}}\! - \overbrace{16(n^2\!-\!1)}^{\large 2\cdot \color{#c00}8\,(\color{#c00}8k)\quad }.\ $ impar $\,n\,\Rightarrow\, \!\overbrace{8\mid n^2\!-\!1}^{\large 8k\,=\,n^2-1\,\ }\Rightarrow\, \color{#c00}{8^2}\mid f(n)$

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Nota: $\,\ 8\mid n^2\!-\!1\,$ es fácil con las congruencias: $\,{\rm mod}\ 8\!:\ {\rm odd}\ n\equiv \pm1,\pm3\,\Rightarrow\ n^2\equiv 1$

Si tienes que usar la inducción: $\ 8\mid 1^2-1,\ $ y $\,\ (n\!+\!2)^2-1\, =\, \color{#0a0}{n^2-1} + \color{#90f}{4(n\!+\!1)}$

$\,8\mid \color{#90f}{4(n\!+\!1)}\,$ por $\,n\,$ impar, así que $\,\color{#0a0}{8\mid n^2-1}\,\Rightarrow\, 8\mid (n\!+\!2)^2-1,\,$ el paso inductivo.