¿Cómo puede evaluar esta integral: $\int_{1}^{\infty}\frac{y\cosh(yx)}{\sinh(y\pi)}dy$?

Question

Estoy interesado en saber cómo he de evaluar esta integral: $$\int_{1}^{\infty}\frac{y\cosh(yx)}{\sinh(y\pi)}dy.$ $

Wolfram alpha da la salida %#% $ #%

Nota: he intentado poner $$\frac1{(\pi-x)^2}+Li-2e^{-2\pi}-\frac{\log(1-e^{-2\pi})}{\pi}-\frac12+O(\pi-x).$ a ver si la anterior integral fácil de evaluación donde tomé $x=y$ pero tengo un complicado forma que no puedo utilizar algunas transformaciones trigonométricas estándar y simple,

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Supongo que usted está realmente interesado en esta integral para algunas aplicaciones y, a continuación, usted puede ser que desee un conveniente la expresión --- Mathematica no evaluar en forma cerrada [*], como se indica en los comentarios, pero esto involucra funciones especiales y no podría ser de gran uso práctico. Aquí es lo que me propongo hacer. Considere la integral con una variable límite inferior,

$$I_u(x)=\int_{u}^{\infty}\frac{y\cosh(yx)}{\sinh(y\pi)}dy,\;\;u\geq 0,\;\;|x|<\pi.$$

La función de $u=0$ tiene una forma simple,

$$I_0(x)=\frac{1}{2+2\cos x},$$

que ya es bastante cercana a la deseada $I_1(x)$. Podemos mejorar mediante la adición de un desplazamiento de $-1/4$, como es evidente a partir de la trama: azul = $I_1$, naranja = $I_0$, verde = $I_0-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\tan^2(x/2)$

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[*] Para el registro, después de algunos masajear este es el Mathematica de salida para$I_1$, $\Phi$ el Lerch trascendente:

$$I_1(x)= \frac{1}{2\cos^2(x/2)}\\ \quad+\sum_{+x,-x}\left[\frac{e^{\pi+x}}{\pi+x} \, _2F_1\left(1,\tfrac{x }{2 \pi }+\tfrac{1}{2};\tfrac{x}{2\pi} +\tfrac{3}{2};e^{2 \pi }\right)-\frac{e^{\pi+x}}{4 \pi ^2 } \Phi \left(e^{2 \pi },2,\tfrac{x }{2 \pi }+\tfrac{1}{2}\right)\right]$$

(la suma de $+x$ $-x$ asegura que el resultado es una función par de $x$, como debe ser)