Sistemas independientes y Lagrangianos

Question

Definición 1:

La noción de sistemas independientes que tiene un significado preciso en probabilidades. Se declara que el (articulación) o probabilidad de encontrar el sistema ($S_1S_2$) en la configuración de ($C_1C_2$) es igual a la probabilidad de encontrar el sistema ($S_1$) en la configuración de ($C_1$) veces la probabilidad de encontrar el sistema ($S_2$) en la configuración de ($C_2$).

Definición 2:

Sin embargo, consideramos que los campos de los sistemas, la herramienta práctica es Lagrangians. Así que debo decir que los 2 sistemas son independientes si :

$$ Lagrangian (S_1S_2) = Lagrangian (S_1) + Lagrangian (S_2)$$

La pregunta:

Ahora, ¿cuál es la relación entre estas 2 definiciones? Podrían ser compatibles, o que podría ser el equivalente en el campo de dominio. Es allí una manera de "demostrar" el último de la antigua ?

Answer 1

Cómo acerca de la ruta de las integrales? La probabilidad de que un sistema evoluciona entre el estado $|\phi_1\rangle$ $|\phi_2\rangle$ es

$$\langle \phi_2|\phi_1 \rangle =\int_{\phi_1}^{\phi_2}\mathcal{D}\phi \exp \left(\frac{i}{\hbar}S(\phi)\right)$$

cuando la medida $\mathcal{D}\phi$ está adecuadamente definido y la acción $S(\phi)$ es la integral del Lagrangiano (más de lo que las coordenadas físicas).

Considere dos sistemas descritos por los estados $|\phi\rangle$$|\psi\rangle$, los cuales son independientes. A continuación, la acción es

$$S(\phi,\psi)=S(\phi)+S(\psi)$$

Y la probabilidad de evolución entre las dos configuraciones es

\begin{align} \langle\phi_2,\psi_2|\phi_1,\psi_1\rangle&=\int_{(\phi_1,\psi_1)}^{(\phi_2,\psi_2)}\mathcal{D}\phi\mathcal{D}\psi \exp \left(\frac{i}{\hbar}(S(\phi)+S(\psi))\right)\\ &=\int_{\phi_1}^{\phi_2}\mathcal{D}\phi \exp \left(\frac{i}{\hbar}S(\phi)\right)\int_{\psi_1}^{\psi_2}\mathcal{D}\psi \exp \left(\frac{i}{\hbar}S(\psi)\right)\\ &=\langle \phi_2|\phi_1\rangle \langle \psi_2|\psi_2\rangle\\ \end{align}

Así que la probabilidad es de un producto si los sistemas son independientes. Tomé específicos de los estados aquí, pero tome $|\phi_i\rangle$ describe un sistema de $S_i$ en la configuración $C_{i1}$ y creo que consigue lo que quiere.

Answer 2

Bueno, no especifica el tipo de probabilidades que usted está hablando. Por lo tanto, me refiero a las etiquetas y asumir que estamos hablando de la cuántica (no estadístico) de las probabilidades. (Ver la edición en la final)

Entonces, hay que señalar que su definición probabilística de independece no tiene mucho sentido.

Editar

Así, de acuerdo con los comentarios, debo decir que mi punto es que estas definiciones son diferentes en su significado. El primero es la independencia estadística (y debe ser refinado para el caso de QM) y la segunda es la ausencia de interacción. El siguiente debe ser entendida como una referencia a quantum entanglement como un hecho de que no interactúan los sistemas pueden ser correlacionados.

Final de la edición

Primero de todo, solemos creer que si tenemos los espacios de Hilbert $\mathcal{H}_1$ $\mathcal{H}_2$ de los dos sistemas, el espacio de Hilbert para el sistema compuesto es $\mathcal{H}=\mathcal{H}_1\otimes\mathcal{H}_2$. Esto es independientemente de la interacción entre los sistemas.

Siguiente, cuando hablamos de la probabilidad de encontrar el sistema en el estado $|a\rangle$ mientras está en estado de $|b\rangle$ (todos los normalizado) normalmente nos referimos a $|\langle a|b \rangle|^2$. Ahora, considere el siguiente estado en $\mathcal{H}$: $$ |a\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle\otimes|\alpha\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|2\rangle\otimes|\beta\rangle $$ No es $0$ de probabilidad de encontrar el sistema en el estado $|1\rangle\otimes|\beta\rangle$, mientras que allí es $0.5$ prabability para encontrar el primer sistema en el estado $|1\rangle$ $0.5$ de probabilidad de encontrar el segundo sistema en el estado $|\beta\rangle$. Y tal estado existe con independencia de las interacciones entre los sistemas. Ver quantum entanglement.

También, podemos considerar el estado $$ |a\rangle=|1\rangle\otimes|\alpha\rangle $$ para que la regla más o menos funciona.

Finalmente, vemos que hay estados de los sistemas que interactúan de tal manera que su probabilística de la igualdad no se sostiene, así como el de los estados de los sistemas que interactúan de tal manera que su igualdad se mantiene. Así que no hay ninguna conexión entre la igualdad y la independencia de los sistemas.

Lo que es cierto, sin embargo, que la transición de las amplitudes (es decir, los elementos de la matriz de $\exp(-iHt/\hbar)$) son en efecto multiplicativo de sistemas independientes. Eso es porque $$ \exp(-iHt)=\exp (- (H_1\otimes 1+1\otimes H_2))=\exp(-H_1\otimes 1)\exp(-it1\otimes H_2)\\ =\exp(-iH_1t)\otimes\exp(-iH_2t) $$ actúa sobre los componentes del tensor de producto de forma independiente (véase también levitopher la respuesta para la ruta integral de la perspectiva).

Lo acerca a la inversa? No podemos decir que cualquier elemento de la matriz de la totalidad del sistema es el producto de los elementos de la matriz para los sistemas separados porque a priori no tenemos el último. Tenemos que decir algo diferente, pero yo no estoy ahora seguro de cómo a estado muy bien.

Editar Las etiquetas han cambiado un poco, pero todavía se puede construir matrices de densidad (y pretender que corresponden a algunas de no-equilibrio de los casos) con propiedades similares. Creo que el puro estado de la densidad de la matriz está bien.

Para el equilibrio de la densidad de las matrices, es decir, $\rho=\exp(-\beta H)$ es cierto que probablilities mulptily de sistemas independientes, por el mismo argumento como para la evolución del operador. El mismo puede ser realizado a través Euclidiana ruta de las integrales.

Como para conversar, no sé la respuesta en el momento.