Movimiento oscilatorio no-SHM

Question

¿Cómo resolver este tipo de preguntas, donde $|F| \propto x^2$? ¿Cómo encontrar tiempo y velocidad tipo cosas relacionadas al movimiento oscilatorio?

$$m\dfrac{d^2x}{dt^2}=F=-\dfrac{dU}{dx}=-3kx|x|.$$

Pero después de este %#% $ #%

¿Qué es solución general de esta oda? Creo que le daría a la $$m\dfrac{d^2x}{dt^2}=-3kx|x|.x$ y sería capaz de conseguir tiempo de él.

Answer 1

Estos tipos de proporcionalidad preguntas son a menudo responden mejor con el análisis dimensional. Quieres saber un formulario de una cantidad con las unidades de tiempo en términos de lo que tienen.

Usted tiene una cantidad $k$ unidades $\frac{\text{Energy}}{\text{Distance}^3} = \frac{\text{Mass}}{\text{Distance} \times \text{Time}^2}$. Usted también tiene la masa de $m$ (en unidades de Masa) y la amplitud de la $a$ (unidades de Distancia). La única manera de que usted podría combinar estas cantidades para obtener una respuesta con las unidades de tiempo es si la expresión es cierta pura número de veces $\sqrt{\frac{m}{ak}}$. Por lo que este le dice a usted cómo el período de escala con respecto a la dimensionful constantes.

Answer 2

El análisis dimensional en respuesta de zkf soluciona totalmente el ejercicio. Sin embargo, es posible dar una fórmula cerrada para el período

$$T ~ = ~ 4 ~ \sqrt{\frac{m}{2k}} \int_0^a! \frac{DX}{\sqrt{a^3-x^3}} ~\stackrel{x=au}{=}~ 4 ~ \sqrt{\frac{m}{2ka}} \int_0^1! \frac{du}{\sqrt{1-u^3}}.$$

¿Ves por qué? Como era de esperar, esto sólo confirma respuesta de zkf.

Answer 3

zkf da suficiente para responder a esta pregunta, pero me gustaría hacer un par de puntos extra:

• El valor absoluto de la operación en el potencial que hace de este un problema no lineal, que son en general bastante difícil de tratar. Tengo impaciente esperando Mathematica para venir para arriba con una solución de forma cerrada para $x(t)$, por lo que probablemente no es uno. Esta es la situación típica en la física y en este caso, usted tiene que recurrir a un cálculo numérico.

• Dado que este es un unidimensional problema que usted todavía puede resolver usando la conservación de la energía (sólo necesita una cantidad conservada para resolver una partícula en 1D problema). Si usted escribe la conservación de la energía para este sistema:

$$\frac{1}{2} m \dot{x}^2 + k |x|^3 = E = \text{constant},$$

usted puede cambiar esto un poco en

$$\mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{\text{stuff involving x}}}.$$

La integración de arriba te da la respuesta QMechanic publicado justo ahora. :)