¿Es un automorfismo del campo de los números reales $\mathbb{R}$ el mapa identidad? Si es así, ¿cómo podemos demostrarlo?
Observación Un automorfismo de $\mathbb{R}$ no necesariamente tiene que ser continuo.
¡Guau. Hermoso :-)
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kubi
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20607
Aquí hay una prueba detallada basada en la pista dada por lhf.
Sea $\phi$ un automorfismo del campo de los números reales. Sea $x \gt 0$ un número real positivo. Entonces existe $y$ tal que $x = y^2$. Por lo tanto $\phi(x) = \phi(y)^2 \gt 0.
Si $a \lt b$, entonces $b - a \gt 0$. Por lo tanto $\phi(b) - \phi(a) = \phi(b - a) \gt 0$ según lo anterior. Por lo tanto $\phi(a) \lt \phi(b)$. Esto significa que $\phi$ es estrictamente creciente.
Si $n$ es un número natural, puede escribirse en la forma $1 + \ldots + 1$, por lo que $\phi(n) = n$. Ahora, cualquier número racional es de la forma $r = (a - b)c^{-1}$, con $a, b, c$ números naturales, por lo que se sigue que $\phi(r) = r$ para cualquier número racional.
Sea $x$ un número real. Sean $r, s$ números racionales tales que $r \lt x \lt s$. Entonces $r \lt \phi(x) \lt s$. Como $s - r$ puede ser arbitrariamente pequeño, $\phi(x) = x$. Esto completa la prueba.
@MakotoKato Es un hecho interesante que haya infinitos automorfismos de $\mathbb{C}$, a pesar de que $[\mathbb{C}:\mathbb{R}]=2$. ¿Por qué este hecho no es una contradicción a este problema?
@user425181 Porque en un caso estás viendo automorfismos de $\mathbb{C}$, y en el otro solo estás viendo aquellos que se restringen a la identidad en $\mathbb{R}$. La restricción en el segundo caso es lo suficientemente fuerte como para dejar solo dos opciones (y esta es una de las realizaciones clave en la teoría de Galois).
Simplemente siento la tentación de escribir cómo podría desarrollarse la intuición de alguien en tales casos. $\phi$ es un automorfismo $\implies$ es una función. Para conocer acerca de esta función, debemos saber de todas las formas posibles cómo se comportará esta función en el dominio real. Y por eso queremos investigar todas las propiedades de $\phi$. Un dominio real sigue las leyes de la tricotomía, tiene números positivos y reales. Es digno de notar cómo la función reaccionará a este tipo de entradas. De nuevo, ¡una pregunta hermosa :-)
@ThatIs, en realidad, como muestra la respuesta de Makoto, la continuidad no es necesaria. Pero mi punto era que una función creciente solo puede tener discontinuidades de salto y luego no puede ser sobreyectiva. Ver math.stackexchange.com/questions/1207135/….
David Blaies
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26
Nunca me han gustado las demostraciones de esto que utilizan el análisis más de lo necesario. Una vez que obtienes que $\phi$ es orden-preservante y la identidad en los números racionales, toma un número real arbitrario $a$. Si $\phi(a) \neq a$, entonces hay un número racional $q \in \mathbb{Q}$ entre $a$ y $\phi(a)$. Si $a \leq q \leq \phi(a)$, entonces $\phi(a) \leq \phi(q) = q$, por lo que $\phi(a) \leq q$ y $q \leq \phi(a)$, entonces $\phi(a) = q = \phi(q)$, por lo que $a = q$, lo cual contradice el hecho de que $\phi(a) \neq a$. De manera similar si $\phi(a) \leq q \leq a.
Bryan Roth
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3592
Para resultados relacionados pero ligeramente más fuertes, consulte $\S$ 16.7 de estas notas de teoría de campos.
Aspectos destacados:
(i) Cada campo ordenado Arquimediano $K$ admite un homomorfismo único de campos ordenados $K \hookrightarrow \mathbb{R}$.
(ii) Sea $(F,<)$ un campo ordenado en el que cada elemento positivo es un cuadrado (por ejemplo, cualquier campo real cerrado, por ejemplo, $\mathbb{R}$). Entonces el orden $<$ es único, por lo que cada homomorfismo de campos entre dos campos de este tipo es necesariamente un homomorfismo de campos ordenados. Así:
El mapa identidad en $\mathbb{R}$ es el único homomorfismo de campos de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$: "$\mathbb{R}$ es fuertemente rígido".
(En el Lema que ocurre justo antes del "Teorema principal sobre campos ordenados arquimedianos" -- actualmente numerado como Lema 192 y en la pág. 106, pero ambos están sujetos a cambios -- donde dice "anillos topológicos", creo que debería decir "anillos topológicos de Hausdorff".)
Adam Malter
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96
Aquí hay una formulación rápida de la prueba que evita mostrar explícitamente que el orden se preserva. Deje que $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sea un automorfismo. Sabemos que $f$ fija todos los números racionales. Supongamos que $f$ no es la identidad; digamos $f(x)\neq x$ para algunos $x$. Podemos asumir que $f(x)>x$ (si $f(x)-x$, por lo que podemos reemplazar $x$ por $-x$). Ahora permita que $q$ sea un número racional tal que $x
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Pista: es bastante fácil ver que cualquier automorfismo preservador del orden es la identidad.
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Estaba seguro de que esto era un duplicado ya que recuerdo haberlo escrito aquí al menos dos veces. Pero la mejor coincidencia que pude encontrar de inmediato es esta. No estoy seguro de que podamos llamarlo un duplicado. Claro, las respuestas de esa pregunta también responden a esto, pero...
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También, Álgebra Básica I de Jacobson :-)
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@JyrkiLahtonen Es un hecho interesante que haya infinitos automorfismos de $\mathbb{C}$, a pesar de que $[\mathbb{C}:\mathbb{R}]=2$. ¿Por qué este hecho no es una contradicción a este problema?
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@user425181 Significa que $\Bbb{C}$ tiene infinitos subcampos isomorfos a $\Bbb{R}$. Ten en cuenta que este resultado depende en gran medida del axioma de elección. Por lo que tengo entendido (pregúntale a un teórico de conjuntos) si eliminamos el axioma de elección, puede que (¿o puede que no?) ocurra que $\Bbb{C}$ tenga solo un número finito de automorfismos.