Bebé Rudin ejercicio 2.9: No $E$ y $\bar{E}$ siempre tienen interiores de la misma?

Question

La pregunta es:

Do $E$ $\bar E$ siempre tienen el mismo interiores?

Aquí, $\bar E$ denota el cierre de $E$. Es decir, $\bar E = E \cup E'$ donde $E'$ denota el conjunto de límite de puntos de $E$. También, vamos a $E^\circ$ denotar el interior de $E$.

Mi intento de prueba:

Respuesta. Sí

Claramente, $E^\circ \subseteq (\bar E)^\circ$. Por lo tanto, tenemos que demostrar únicamente que $(\bar E)^\circ \subseteq E^\circ$.

Si $(\bar E)^\circ$ está vacía, entonces $E^\circ$ también está vacía. Por lo tanto, asumir que $(\bar E)^\circ$ no está vacía.

Considere la posibilidad de un punto de $p \in (\overline E)^\circ$.

Para algunos $r > 0$, tenemos que para cualquier $0 < r' \le r$, $N_{r'}(p) \subseteq \bar E$. Aquí, $N_a(p)$ denota la (abierto) barrio de $p$.
Tenemos que mostrar que $p \in E^\circ$.
Es decir, existe algún $\rho > 0$ tal que $N_\rho(p) \subseteq E$.

Por lo tanto, supongamos por contradicción que para todos los $\rho > 0$, existe un punto de $p' \in N_\rho(p)$ tal que $p' \not \in E$.
En particular, para cualquier $0 < \rho \le r$, existe un $p' \in N_\rho(p)$, pero $p' \not \in E$.
Por lo tanto, $N_\rho(p) \subseteq E'$. En particular, $p \in E'$, es decir, $p$ es un punto límite de $E'$.

Sin embargo, esto es una contradicción, porque para cada vecindad de un punto límite de $E$ debe contener un punto de $E$.

Pero el resultado no es cierto, como se muestra en el siguiente ejemplo.
$E = \mathbb Q \subset \mathbb R$. Aquí, $\mathbb Q^\circ = \emptyset$, pero $\bar{\mathbb{Q}} = \mathbb R$.

Entonces, ¿qué hay de malo en mi prueba? Pensé por un tiempo (incluso teniendo en cuenta el mismo ejemplo!), y no puedo encontrar mi error.

Answer 1

En particular, para cualquier $0 < \rho \le r$, existe un $p' \in N_\rho(p)$, pero $p' \not \in E$. Por lo tanto, $N_\rho(p) \subseteq E'$.

La segunda frase no siga. Usted sabe que existe algún punto de $p'\in N_\rho(p)$ que no está en $E$, pero eso no significa que cada punto de $N_\rho(p)$ no $E$, que es lo $N_\rho(p) \subseteq E'$ dice. Tal vez algunos puntos de $N_\rho(p)$ $E$ y otros puntos no lo son. De hecho, esto es exactamente lo que sucede en el caso de $E=\mathbb{Q}$: cualquier bola contiene ambos puntos de $\mathbb{Q}$ y puntos que no están en $\mathbb{Q}$.