La pregunta es:
Do E ˉE siempre tienen el mismo interiores?
Aquí, ˉE denota el cierre de E. Es decir, ˉE=E∪E′ donde E′ denota el conjunto de límite de puntos de E. También, vamos a E∘ denotar el interior de E.
Mi intento de prueba:
Respuesta. Sí
Claramente, E∘⊆(ˉE)∘. Por lo tanto, tenemos que demostrar únicamente que (ˉE)∘⊆E∘.
Si (ˉE)∘ está vacía, entonces E∘ también está vacía. Por lo tanto, asumir que (ˉE)∘ no está vacía.
Considere la posibilidad de un punto de p∈(¯E)∘.
Para algunos r>0, tenemos que para cualquier 0<r′≤r, Nr′(p)⊆ˉE. Aquí, Na(p) denota la (abierto) barrio de p.
Tenemos que mostrar que p∈E∘.
Es decir, existe algún ρ>0 tal que Nρ(p)⊆E.
Por lo tanto, supongamos por contradicción que para todos los ρ>0, existe un punto de p′∈Nρ(p) tal que p′∉E.
En particular, para cualquier 0<ρ≤r, existe un p′∈Nρ(p), pero p′∉E.
Por lo tanto, Nρ(p)⊆E′. En particular, p∈E′, es decir, p es un punto límite de E′.
Sin embargo, esto es una contradicción, porque para cada vecindad de un punto límite de E debe contener un punto de E.
Pero el resultado no es cierto, como se muestra en el siguiente ejemplo.
E=Q⊂R. Aquí, Q∘=∅, pero ˉQ=R.
Entonces, ¿qué hay de malo en mi prueba? Pensé por un tiempo (incluso teniendo en cuenta el mismo ejemplo!), y no puedo encontrar mi error.