Processing math: 100%

6 votos

Bebé Rudin ejercicio 2.9: No E y ˉE siempre tienen interiores de la misma?

La pregunta es:

Do E ˉE siempre tienen el mismo interiores?

Aquí, ˉE denota el cierre de E. Es decir, ˉE=EE donde E denota el conjunto de límite de puntos de E. También, vamos a E denotar el interior de E.

Mi intento de prueba:

Respuesta.


Claramente, E(ˉE). Por lo tanto, tenemos que demostrar únicamente que (ˉE)E.


Si (ˉE) está vacía, entonces E también está vacía. Por lo tanto, asumir que (ˉE) no está vacía.


Considere la posibilidad de un punto de p(¯E).


Para algunos r>0, tenemos que para cualquier 0<rr, Nr(p)ˉE. Aquí, Na(p) denota la (abierto) barrio de p.
Tenemos que mostrar que pE.
Es decir, existe algún ρ>0 tal que Nρ(p)E.


Por lo tanto, supongamos por contradicción que para todos los ρ>0, existe un punto de pNρ(p) tal que pE.
En particular, para cualquier 0<ρr, existe un pNρ(p), pero pE.
Por lo tanto, Nρ(p)E. En particular, pE, es decir, p es un punto límite de E.


Sin embargo, esto es una contradicción, porque para cada vecindad de un punto límite de E debe contener un punto de E.

Pero el resultado no es cierto, como se muestra en el siguiente ejemplo.
E=QR. Aquí, Q=, pero ˉQ=R.

Entonces, ¿qué hay de malo en mi prueba? Pensé por un tiempo (incluso teniendo en cuenta el mismo ejemplo!), y no puedo encontrar mi error.

5voto

Adam Malter Puntos 96

En particular, para cualquier 0<ρr, existe un pNρ(p), pero pE. Por lo tanto, Nρ(p)E.

La segunda frase no siga. Usted sabe que existe algún punto de pNρ(p) que no está en E, pero eso no significa que cada punto de Nρ(p) no E, que es lo Nρ(p)E dice. Tal vez algunos puntos de Nρ(p) E y otros puntos no lo son. De hecho, esto es exactamente lo que sucede en el caso de E=Q: cualquier bola contiene ambos puntos de Q y puntos que no están en Q.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X