$L^p$ norma de la variable aleatoria normal multivariante

Question

Dado $X_i\sim \mathcal{N}(0,1)$ cuál es el comportamiento de $$||X||_{l^p}=(\sum_{i=1}^n|X_i|^p )^{1/p}$$ como $n\rightarrow \infty$ ? Para $p=2$ resultados sobre $\chi$ -distribución nos dicen que $$\mathbb{P}(||X||_{l^2}\le 2n^\frac{1}{2} )\rightarrow 1.$$

Estoy interesado en declaraciones analógicas para $p\ne1$ es decir

$$\mathbb{P}(||X||_{l^p}\le Cn^{e(p)} ),$$ donde $C$ puede depender de $p$ .

Answer 1

Por la ley de los grandes números para variables aleatorias i.i.d, $$\frac1n\sum_{i=1}^n|X_i|^p\to E[|X_1|^p],$$ casi con toda seguridad, por lo que $$\frac1{n^{1/p}}\|X\|_p\to E[|X_1|^p]^{1/p},$$ casi con toda seguridad. En particular, para cada $x$ , $$P[(1-x)n^{1/p}E[|X_1|^p]^{1/p}\leqslant\|X\|_p\leqslant(1+x)n^{1/p}E[|X_1|^p]^{1/p}]\to1.$$

Answer 2

Sugerencia: Asumiendo que $X_i$ son independientes se puede aplicar el Teorema del límite central en $$\frac{1}{n}\left\Vert X\right\Vert_{\ell^p}^p=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\lvert X_i\rvert ^p.$$