Pregunta sobre un límite peculiar

Question

Tome $f : [0,\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ ser estrictamente decreciente función continua tal que $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 0.$ me gustaría como para demostrar que $$\int_0^\infty \frac{f(x+1) - f(x)}{f(x)} dx$$ diverge.

En la primera lectura, podemos ver que $$\int_0^\infty \frac{f(x+1)-f(x)}{f(x)}\, dx =\int_0^\infty \frac{f(x+1)}{f(x)} - \frac{f(x)}{f(x)} \,dx =\int_0^\infty \frac{f(x+1)}{f(x)}\,dx \int_0^{\infty} 1 \,dx =\int_0^\infty \frac{f(x+1)}{f(x)}\,dx \infty.$$ Por lo tanto, sería suficiente para demostrar $\int_0^\infty \frac{f(x+1)}{f(x)}\, dx$ es finito o diverge a $-\infty .$ Podemos ver que $$\int_0^\infty \frac{f(x+1)}{f(x)} \,dx$$ $$=\lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^n \frac{f(x+1)}{f(x)} \,dx.$$ ¿Cuál es el siguiente paso para lidiar con esto, habida cuenta de la estrictamente monótona la disminución de los aspectos de la $f$?

Answer 1

Este es un trabajo en progreso.

Si estamos, además, asumir, que $f$ es convexa y diferenciable, entonces es cierto.

Desde $f$ es positivo, decreciente y convexa, tenemos $$ \int_0^y \frac{f(x+1) - f(x)}{f(x)} dx \le \int_0^y \frac{f'(x+1)}{f(x+1)} dx = \log(f(y+1)) - \log(f(1)) \to -\infty. $$

Algunas observaciones:

1. Obviamente es suficiente con que $f$ es convexo y derivable en algunos $(x_0, \infty)$.
2. Un no-cero de la función no puede ser cóncava y converge desde arriba a $0$.
3. No he venido para arriba con un contraejemplo en caso de $f$ no es convexa. Así que la declaración podría ser válido todavía.