Necesita ayuda para encontrar un generador de

Question

$I={a+bi \in R\mid a \equiv b\pmod 2}$ es un ideal de $R=\mathbb Z[i]={a+bi\mid a,b \in \mathbb Z}$. ¿Alguien me puede ayudar a encontrar el generador de $I$?

Answer 1

Reclamo: $I = \langle 1 + i \rangle$.

Prueba: Aviso que $1 + i \in I$$1 \equiv 1 \pmod 2$, lo que significa $\langle 1 + i \rangle \subseteq I$.

Para el reverso de contención, vamos a $a + bi \in I$, e $a, b \in \mathbb Z$$a \equiv b \mod 2$. Desde $\mathbb Z[i]$ es un Dominio Euclídeo, podemos utilizar el algoritmo de la división y por tanto no existe $r, q \in \mathbb Z[i]$ con $r = c + di$, $q = e + fi$ tal que $$a + bi = (1 + i)q + r$$ where $c^2 + d^2 = N(r) < N(1 + i) = 2$ or $r = 0$. Notice that $$(1 + i)q = (1 + i)(e + fi) = e + fi + ei - f = (e - f) + (e + f)i$$ and so $e - f \equiv e + f \pmod 2$ since $-f \equiv f \pmod 2$. Since $r = c + di = (a + bi) - (1 - i)p$ and since $\equiv b \pmod 2$ and $e - f \equiv e + f \pmod 2$, then $$c = a + e - f \equiv b + e + f = d \pmod 2.$$ Para $c^2 + d^2 < N(1 + i) = 2$ debemos tener $c = d = 0$ y, por tanto,$r = 0$. A la conclusión de que $a + bi = (1 + i)q$$a + bi \in \langle 1 + i \rangle$, lo que significa $I \subseteq \langle 1 + i \rangle$.

A la conclusión de $I = \langle 1 + i \rangle$.