O(n) como subvariedad incrustado

Question

Quiero mostrar que el conjunto de matrices ortogonales, $O(n) = \{A \in M_{n \times n} | A^tA=Id\}$, es un integrado submanifold de el conjunto de todos los $n \times n$ matrices $M_{n \times n}$.

Hasta ahora, he usado que este conjunto puede ser descrito como $O(n) = f^{-1}(Id)$ donde $f: M_{n \times n} \rightarrow Sym_n = \{A \in M_{n \times n} | A^t = A\}$ está dado por $f(A) = AA^t$, y que el mapa $f$ es suave. Por lo tanto, todavía tengo que demostrar que $Id$ es un punto habitual de este mapa, es decir, que el diferencial de mapa de $f_*$ (o $df$ si lo desea) tiene la máxima clasificación en todos los puntos de $O(n)$.

¿Cómo puedo encontrar este mapa? Traté de tomar un camino de $\gamma = A + tX$ $O(n)$ y la búsqueda de la velocidad de la $f \circ \gamma$$t=0$, lo que parece ser $XA^t + AX^t$, pero no veo cómo proceder. Otra manera en que yo pensaba que era por expresar todo como vectores en $\mathbb{R}^{n^2}$$\mathbb{R}^{\frac{n(n+1)}{2}}$, pero las expresiones tengo demasiado complicada y he perdido la pista.

Answer 1

Creo que casi lo ha hecho. Como usted ha dicho, basta para mostrar que $\mathrm{Id}$ es un valor regular de $f$, es decir, para cada $A\in O(n)$, $f_:TA M{n\times n}\to T_{\mathrm{Id}}Sym_n$ es sobreyectiva, donde $T_pX$ denota el espacio tangente de $X$ $p$. Tenga en cuenta que $TA M{n\times n}$ (o $T_{\mathrm{Id}}Symn$) puede ser identificado con $M{n\times n}$(resp. $Symn$) and, as you have known, $f(X)=XA^t+AX^t$. Entonces sólo necesita verificar que existe para cualquier $S\in Symn$ $X\in M{n\times n}$, que $XA^t+AX^t=S$. Por lo menos puede $X=\dfrac{1}{2}SA$.