Clasificar tipos de paradojas: mentiroso ' s paradoja, Et Alia

Question

La conocida Paradoja del Mentiroso "Este enunciado es falso" nos lleva a un recursiva contradicción: Si la declaración es interpretado para ser cierto, entonces en realidad es falso, y si se interpreta a ser falsos, a continuación, es la verdad. La declaración es una paradoja donde ni el valor de verdad puede ser asignado.

Sin embargo, "Esta declaración es verdadera" también conduce a una paradoja donde sea valor de verdad puede ser asignado con la misma validez. Si la declaración se percibe para ser cierto, entonces es realmente cierto, y si la declaración es percibido como falsos, a continuación, en realidad, es falsa.

Estas dos declaraciones demuestran dos clases diferentes de paradoja.

La misma paradoja que los estados existen en la teoría de conjuntos. Considerar "El conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos" conduce a la antigua paradoja (ni solución es válida), y "el conjunto de todos los conjuntos que se contienen a sí mismos" nos lleva a la última paradoja (o bien la solución es válida.)

Mi pregunta es: ¿cuántas clasificaciones de la paradoja de existir? Es allí cualquier desarrollo en la clasificación de los tipos de paradojas y su aplicación a la lógica matemática, ciencias de la computación, y la teoría de conjuntos? ¿Qué implicaciones tendría clases de paradojas han de Gödel de los teoremas de incompletitud, podría, un sistema que permite y clasifica las paradojas ser demostrable coherente?

Answer 1

Aquí es una versión preliminar de un documento por Noson Yanofsky en paradoja y autorreferencia que pueden ser de interés. También hay una versión definitiva en el boletín de la lógica simbólica.

Answer 2

El problemas es que el real axiomatization de la teoría de conjuntos y la lógica hace imposible la paradoja de existir, o mejor dicho tenemos la esperanza de que-. Ahora, puedo decir que la variación de la paradoja del mentiroso de la forma "Esta declaración no puede ser" demostrado dar lugar a teoremas de Gödel cuando es correctamente formalizadas. Yo recomiendo que se lea acerca de la no-clásica de la lógica, porque este son los únicos que pueden lidiar con las paradojas, en cierto sentido, de lo contrario no hay una lógica-matemática posibilidad (creo).

Answer 3

Paradojas surgir en cualquier momento de intentar hacer deducciones a partir de una inconsistente conjunto de axiomas. La paradoja del Mentiroso es sólo una paradoja derivada de un par de axiomas (es decir, 1="Todos los Cretenses son mentirosos". y 2="Un Cretense, dijo, "Todos los Cretenses son mentirosos".) que debe ser asumida como verdadera, a priori, debido a que todas las reglas de inferencia de la lógica de la verdad-la preservación de las transformaciones. No hay una regla de la lógica que le permite asumir que cualquier afirmación es falsa! Si usted no comienza con una verdadera declaración y aplicar una verdad-la preservación de la transformación, que sólo están rompiendo las reglas de la lógica! Así que, ¿no garantiza a esperar que el resultado sea verdadero. La sensación de que hay una paradójica conclusión surge cuando tu intuición te dice una cosa y tu cerebro te dice algo más. Si usted rompe las reglas de la lógica, su intuición le dice que hay algo sospechoso, mientras que su cabeza sigue diciendo que lo hizo todo bien.

La declaración, "Esta afirmación es falsa," es un ejemplo de una paradoja que surgen de un solo axioma.

Flecha del Teorema de Imposibilidad es un caso en el que dos de los tres dados los axiomas son consistentes, pero el conjunto de los tres axiomas como un todo conduce a una contradicción. Que normalmente no pensar en esto como una paradoja, pero realmente es un caso de lo que podríamos llamar cíclica de la auto-referencia, y, por tanto, otra clase de paradoja.

Por lo tanto, mi respuesta es que su corazonada es correcta: hay una infinita jerarquía de la paradoja de las clases según el número máximo de axiomas en cualquier conjunto de axiomas y reglas de inferencia que no conducen a una contradicción. No sé, pero me imagino que puede ser más complicado de los casos que pudieran asignarse en los gráficos que no son polígonos simples.