Yo estaba tratando de resolver este problema (Estratégico de la Práctica 3 de la Semana, la Tarea, el problema 4 en la de Harvard Stat 110 de la clase), enmarcándola como un jugador de la ruina problema:
Calvin y Hobbes jugar un partido consta de una serie de juegos, donde Calvin ha probabilidad de $p$ de ganar cada juego (de forma independiente) y $q = 1-p$. Ellos jugar con un "ganar por dos" regla: el primer jugador en ganar dos juegos más que su oponente gana el partido. Encontrar la probabilidad de que Calvin gana el partido (en términos de $p$), al interpretar el problema como un el jugador de la ruina problema.
He aquí cómo me acerqué a el problema:
Vamos,
$W:$ Calvin gana el partido;
$D_i:$ (Gana por Calvino) $-$ (Gana por Hobbes) $= i$
$p_i:$ $\Pr($W| $D_i$$)$
Ahora, por el condicionamiento en el primer juego, y el uso de la ley de total probabilidad, obtenemos:
$p_i = p p_{i+1} + qp_{i-1}$ , $p_2 = 1$ (Calvin gana con certeza si la diferencia es $2$) y $p_{-2} = 0$ (Calvin pierde con certeza si la diferencia es $-2$).
La solución de esta relación de recurrencia (que omito aquí, ya que es en su mayoría de álgebra de gimnasia), obtenemos:
$p_i = \dfrac{p^6}{p^8 - q^4}p^i - \dfrac{p^2q^2}{p^8-q^4}(\dfrac{q}{p})^i$
Ya que ambos Calvin y Hobbes empezar con un $0$ diferencia en gana, lo que tenemos que encontrar es $p_0 = \dfrac{p^2(p^4-q^2)}{p^8-q^4}$.
Sin embargo, la respuesta resulta ser $\dfrac{p^2}{p^2+q^2}$, que puede obtenerse fácilmente mediante el uso de la ley de total probabilidad y acondicionado en el número de victorias en los primeros 2 partidos (0 ganar, ganar 1 o 2 victorias, con el número de victorias, $X \sim $ Bin($2,p$)).
Donde se me va mal con mi interpretación del problema como un jugador de la ruina problema?
