Cierre de $(a,b)$en un punto compactifcation de % de $\mathbb{Q}$

Question

Tome $\mathbb{Q}$ a los números racionales con la costumbre de la topología inducida por el valor absoluto. Deje $\mathbb{Q}^*=\mathbb{Q} \cup \{ \infty \}$ ser el único punto de compactification de $\mathbb{Q}$. Vamos $a$, $b \in \mathbb{R}$ ser cualquier número real, $a < b$.

¿Cuál es la clausura del conjunto de $(a,b) \cap \mathbb{Q}$$\mathbb{Q}^*$?

Sospecho que la respuesta es no $[a,b] \cap \mathbb{Q}$. Mi razonamiento es que el complemento de ese conjunto, es decir,$\mathbb{Q}^* \setminus ( [a,b] \cap \mathbb{Q})= \{ \infty \} \cup (\mathbb{Q} \setminus [a,b] )$, no está abierto. Eso es porque la $[a,b]$ no es un conjunto compacto en $\mathbb{Q}$.

Claramente esto no es una prueba de mi sospecha, pero creo que podría ser ampliado a una prueba. Sin embargo es muy poco intuitivo, como $[a,b] \subset \mathbb{R}$ es de hecho el cierre de $(a,b) \subset \mathbb{R}$$\mathbb{R}^*$.

Es mi suposición correcta?

Answer 1

Es claro que si $x \in \mathbb{Q}$ $x < a$ o $x > b$, entonces hay ya en $\mathbb{Q}$ un barrio de $x$ que falta a $(a,b)$ (y estos también están abiertas en $\mathbb{Q}^\ast$, por lo que no está en el cierre que estamos buscando), y también es fácil ver que $a$ $b$ va a ser en el cierre, como sus barrios son el estándar de $\mathbb{Q}$.

Así que el primer candidato para el cierre de $(a,b) \cap \mathbb{Q}$$[a,b] \cap \mathbb{Q}$, y tenemos que preguntarnos: este cerrado en $\mathbb{Q}^\ast$? O, es su complemento en $\mathbb{Q}^\ast$ abierta en $\mathbb{Q}^\ast$? Pero el complemento contiene $\infty$, el compactifying punto, y para un conjunto de la forma $\mathbb{Q}^\ast \setminus C$ (donde $C \subseteq \mathbb{Q}$) a ser un barrio de $\infty$ es, por definición, sólo en el caso si $C$ es cerrado y compacto, en los racionales. Pero es clásico que $[a,b] \cap \mathbb{Q}$ es no compacto en los racionales. (E. g. las secuencias en que puede converger a irrationals y no tiene convergente subsecuencias). Por lo que el cierre no puede ser $[a,b] \cap \mathbb{Q}$, como todos los demás racionales son el único candidato que queda es $C = ([a,b] \cap \mathbb{Q}) \cup \{\infty\}$ y su complemento en $\mathbb{Q}^\ast$ es sólo $\mathbb{Q}\setminus ([a,b] \cap \mathbb{Q})$ que es simplemente un conjunto abierto de los racionales así también abierta en $\mathbb{Q}^\ast$. Por lo $$\overline{(a,b) \cap \mathbb{Q}} = ([a,b] \cap \mathbb{Q}) \cup \{\infty\}\text{.}$$