Solo puedo mostrar este límite superior para$|x|<1$. Pero, ¿cómo mostrarlo a todos$x$?

Question

EDIT: creo que ahora tengo resuelto, pero tengo tres constantes de $C_{\alpha}$, uno para el caso de |x|<1 (el caso más fácil), uno de los constantes para el caso de $|x|\ge 1$ pero sumando la serie de 0 a M-1, y una constante para el caso de $|x|\ge 1$, pero la suma de la serie de la M a infinito. Debo tomar ahora el max de los tres constantes...o agregar ? O tal vez sólo mantener los tres y los divide en los casos está bien? Pero supongo que necesito una $C_{\alpha}$ que funciona para todo x. ¿Qué te parece? Gracias,

Estoy viendo la serie

$$\sum_{n=0}^{\infty} 2^{n \alpha} \sin\frac{x}{2^n} $$

y para cualquier $\alpha \in (0,1)$, quiero mostrar que

$$\left|\sum_{n=0}^{\infty} 2^{n \alpha} \sin\frac{x}{2^n}\right|\le C_{\alpha}|x|^{\alpha}$$

para todos los $x \in\Bbb R $, y donde $C_{\alpha}$ es una constante que puede depender de $\alpha$.

Soy capaz de mostrar el límite superior sólo para $|x|<1$, el uso de series geométricas y el hecho de que $|\sin(x)| \le |x|$.

Así que estoy buscando un poco de ayuda en la que muestra el límite superior para el caso de $|x|\ge 1$.

La sugerencia dada en el problema de $|x| \ge 1$ es este:

Deje $M$ ser el entero con $2^M \ge |x| \ge \frac{1}{2}2^M$ y la estimación de la suma de $n<M$ $n\ge M$ en diferentes maneras.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Gracias,

Answer 1

En general, la mejor cosa a hacer en esta situación es dejar a $C$ ser el máximo de la $C_\alpha$, la suma de los $C_\alpha$, o alguna otra facilidad para obtener el número que usted puede mostrar de forma rápida es mayor que $C_\alpha\forall\alpha$. Usted no necesita una constante que funciona para todas las $x$, y en realidad muestra es importante porque a veces hay situaciones donde parece que hay un límite, pero no se puede reconsile todos ellos. Considerar el obviamente no acotada $f(x)$. En cada intervalo de $[a,a+1]$, $f(x)<a+2$ sin embargo, la función es ilimitado porque no se puede combinar esos límites en una sola que funcione para todas las $x$.