¿Un gran círculo intersección % hipersuperficie $X_1^2 + X_2^2 = \delta^2 < 1$de la esfera de la unidad?

Question

He reducido un pequeño problema que estoy trabajando (con 2 dimensiones mínimas de los conos en la arbitrario codimension) a algunos de los elementales de la geometría esférica, que no puedo manejar fácilmente o visualizar.

Deje $S^n$ denotar la costumbre de la unidad de esfera en $\mathbb{R}^{n+1}$.

Para algunos fijos $\delta \in (0,1)$, consideramos que la hipersuperficie $M := \{X \in S^n : X_1^2 + X_2^2 = \delta^2\} $.

Fijar un punto de $X_0 \in M$ y considerar la posibilidad de un gran círculo de $\gamma$ pasando a través de $X_0$ cuya inicial del vector velocidad es tangente a $M$$X_0$.

¿Qué significa el conjunto de $\gamma \cap M$?

No creo que una porción abierta de $\gamma$ puede ser incluida en $M$. Pero puede $\gamma \cap M$ incluso constan de más de dos puntos? Mi conjetura es `no' y que $M \cap \gamma = \{X_0,-X_0\}$.

Answer 1

Cuando $n = 2$, $M$ es una unión de dos grandes círculos y $\gamma$ nunca está contenida en $M$ (pero, como usted dice, se cruza con $M$ a los dos antipodal puntos).

En general (es decir, para $n \geq 2$), $M$ es el producto de $S^1$ (de radio $\delta$) y $S^{n-2}$ (de radio $\sqrt{1 - \delta^2}$), con radios medidos en el sentido Euclidiano (es decir, extrínsecamente, en $\mathbf{R}^{n+1}$).

De primeras, parece que su conjetura (dos antipodal puntos) es de derecha. (Tanto en $M$ $\gamma$ son simétricas bajo el antipodal mapa, por lo que la intersección es así.) Estoy presionado por el tiempo, pero van a intentar escribir una respuesta más detallada más adelante (a menos que alguien se me adelanta :)

Edit: a Mi de primeras evaluación anterior es incorrecta cuando se $n \geq 3$. (Yo también no pensé que iba a tomar tanto tiempo para encontrar tiempo libre, y espero que mi mensaje inicial no prevenir a los demás de responder.)

Ortogonalmente descomponer $\mathbf{R}^{n+1}$$\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^{n-1}$, y deje $\mathbf{u}=(\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2)$ (etc.) indicar los correspondientes componentes de un vector $\mathbf{u}$$\mathbf{R}^{n+1}$. Si $\mathbf{u}_1$ $\mathbf{v}_1$ son ortogonales los vectores de longitud $\delta$$\mathbf{R}^2$, y si $\mathbf{u}_2$ $\mathbf{v}_2$ son ortogonales los vectores de longitud $\sqrt{1-\delta^2}$$\mathbf{R}^{n-1}$, luego $$\gamma(t) = (\cos t)\mathbf{u} + (\sin t)\mathbf{v}$$ es un gran círculo (como $\mathbf{u}$ $\mathbf{v}$ son ortogonal de vectores unitarios) acostado en $M$ (descomponer $\gamma(t)$$\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^{n-1}$).

Por el contrario, si la curva de la forma anterior se encuentra en $M$, descomponer los vectores $\mathbf{u}$$\mathbf{v}$. Desde $$\gamma_i(t) = (\cos t)\mathbf{u}_i + (\sin t)\mathbf{v}_i$$ tiene constantes norma para $i=1, 2$, el hecho de que $\gamma_i(t) \cdot \gamma_i'(t) = 0$ muestra $\mathbf{u}_i$ $\mathbf{v}_i$ son ortogonales a los vectores de la misma longitud.

(Tenga en cuenta que este argumento no se contradice con la situación al $n = 2$, debido a que el $0$-esfera no contiene dos vectores ortogonales de la misma longitud.)