Ejemplo donde un simple coeficiente de correlación tiene signo opuesto del correspondiente coeficiente de correlación parcial

Question

<blockquote> <p>Dar algunos ejemplos donde un coeficiente de correlación simple tiene un signo opuesto del correspondiente coeficiente de correlación parcial y comentario sobre él.</p> </blockquote> <p>Se trata de un examen. Por favor ayuda.</p>

Answer 1

ttnphns dio una muy buena respuesta, pero para completar el examen de la cuestión .... Yo tome lo que usted desea saber intuitivamente por qué el parcial y simple de las autocorrelaciones podría tener signos opuestos.

Considere el siguiente escenario de ficción. En un determinado pueblo, las personas van engordando a medida que envejecen. Como consecuencia, sus médicos recomiendan que hacen más ejercicio. Para mayores (y gordo) que la gente haga más ejercicio que los jóvenes y delgados. La correlación entre el peso y el ejercicio sería positiva (correlación simple). Pero si usted ajuste para la edad, se encuentra que aquellos que hacen ejercicio tienen menor peso que aquellos que no hacen ejercicio (para una determinada edad).

Ignorando la edad distorsiona el efecto de peso y el ejercicio.

Algo similar ocurre con los datos categóricos, donde se le llama de la paradoja de Simpson.

Answer 2

El signo del coeficiente de correlación parcial es el mismo que el signo de la regresión lineal, el coeficiente. (De hecho, parcial $r$ es sólo una de las formas para estandarizar regressional $b$.) Así, si tenemos algunas variables, por ejemplo, tres, $X$, $Y$, $Z$, y quieres saber el signo de $r_{XY.Z}$ - la correlación parcial entre el $X$ $Y$ - va a ser suficiente para saber el signo de $b_X$ en la regresión de la $Y$ $X$ $Z$ (o $b_Y$ en la regresión de la $X$$Y$$Z$).

Si suponemos que las tres variables están centradas (sus medios fueron traídos a 0), la fórmula de regresión lineal coeficiente que se encuentra en muchos libros de texto puede ser escrito de la siguiente manera:

$b_X = \frac{SCP_{XY}SCP_{ZZ} - SCP_{ZY}SCP_{XZ}} {SS_XSS_Z - SCP_{XZ}^2}$

donde SCP significa "suma-de-crossproducts" y SS "suma de cuadrados". El denominador es siempre positivo, de modo que el signo de $b_X$ depende totalmente en el numerador. Podemos ampliar lo que es un SCP, por ejemplo,$SCP_{XY}$:

$SCP_{XY} = \sqrt{SS_X}\sqrt{SS_Y}r_{XY}$

Si sustituimos todos los SCP en el numerador en consecuencia y, a continuación, simplificar vamos a conseguir que el numerador es proporcional a la cantidad

$r_{XY}-r_{ZY}r_{XZ}$

y su signo es el signo de esta cantidad. Así, cualquiera que sea el signo de la correlación de orden cero $r_{XY}$, el signo de la correlación parcial $r_{XY.Z}$ es determinado por la última expresión. A continuación es un ejemplo: $r_{XY}=.314$, $r_{YZ}=.589$, $r_{XZ}=.606$, $r_{XY.Z}=-.067$, negativa, porque a $.314-.589*.606<0$.

       X        Y        Z 

   1.339   -1.097     .014 
    .619    1.022     .792 
   -.722    1.127     .699 
   -.695   -1.081   -2.016 
   1.421     .318    1.068 
   1.467     .002    1.284 
   -.619     .692    -.691 
   -.319    1.228    2.002 
    .478   -1.056   -1.281 
    .490     .704    1.151 
   -.316    1.204     .030 
   -.203     .021    1.176 
    .168    1.732    1.741 
    .763    1.090    1.834 
   2.734    -.227    1.044 
  -1.603    -.447   -2.056 
   -.846    -.024    -.335 
   -.009     .132     .932 
   -.304     .118    -.938 
   -.612   -1.878   -1.655 
  -1.370    -.607    -.499 
   -.921    -.893   -1.136 
   -.534     .312    -.282 
   -.136   -1.189   -1.203 
    .406     .752     .338 
   -.069     .559    -.227 
    .534    -.547     .167 
   -.450     .417    -.512 
   1.364    1.319    1.327 
  -1.019     .190    -.157 
   1.608     .588     .861 
  -1.909    -.871   -1.322 
    .488    -.266     .361 
  -1.492   -1.645   -1.216 
    .533     .006     .791 
   -.341     .890     .939 
   -.862     .873    -.342 
  -2.076   -1.051   -1.160 
    .059    1.314    -.456 
   -.666    -.652   -1.761 
   -.742     .885     .606 
   -.333    -.087   -1.040 
    .789     .684    1.322 
   -.121    1.006     .766 
    .528    -.190     .206 
    .944    1.752    2.055 
   -.368    -.548    -.619 
   -.655     .432    -.141 
   -.663   -1.176   -1.164 
   -.799   -1.607   -1.844 
    .563    -.052    -.011 
   -.959   -1.281     .267 
   1.256     .323     .569 
   -.099     .869    -.693 
    .813   -1.057   -1.393 
   1.443    1.519    1.180 
   1.513    1.662    1.160 
   1.488     .494    -.285 
   -.247     .808     .324 
   -.903     .086    -.912 
    .750   -1.304     .717 
  -1.665    -.847   -1.045 
  -1.945    -.480    -.439 
    .105     .804    1.303 
   -.524    1.251    1.201 
   -.277   -1.400    -.391 
   -.936   -1.406    -.215 
   2.029     .318    1.128 
  -1.214    1.002   -1.313 
   -.180     .205    -.845 
   -.364    1.176    -.428 
   1.087    1.167    1.743 
   -.736    -.779   -1.038 
   -.386    1.176     .167 
    .022     .120    1.399 
    .749   -1.324    1.507 
   -.262    -.438   -1.634 
  -1.199    -.206    -.439 
   -.339   -1.687   -1.082 
  -1.529   -1.969   -1.179 
  -1.028    -.806   -1.331 
  -1.080   -1.855   -1.958 
    .072    -.523     .044 
   -.096     .481    -.214 
    .220    -.221     .931 
   1.217    -.801     .412 
  -1.542     .398    -.735 
  -1.238    1.301    -.361 
    .320     .806     .951 
   -.039    -.198    -.526 
    .588    -.001     .860 
   -.682   -1.109    -.607 
    .767    -.381     .255 
   -.783     .338     .475 
    .120    1.227     .345 
   -.207    -.607     .130 
   1.450    1.145     .721 
   -.903     .127     .646 
   1.567    1.106     .477 
    .382    -.942     .404