Intento calcular el error estándar de la media para un proceso AR(1) degradado $x_{t+1} = \rho x_t + \varepsilon_{t+1} =\sum\limits_{i=0}^{\infty} \rho^i \varepsilon_{t+1-i}$
Esto es lo que hice:
$$ \begin{align*} Var(\overline{x}) &= Var\left(\frac{1}{N} \sum\limits_{t=0}^{N-1} x_t\right) \\ &= Var\left(\frac{1}{N} \sum\limits_{t=0}^{N-1} \sum\limits_{i=0}^{\infty} \rho^i \varepsilon_{t-i}\right) \\ &= \frac{1}{N^2} Var\begin{pmatrix} \rho^0 \varepsilon_0 + & \rho^1 \varepsilon_{-1} + & \rho^2 \varepsilon_{-2} + & \cdots & \rho^{\infty} \varepsilon_{-\infty} + \\ \rho^0 \varepsilon_1 + & \rho^1 \varepsilon_{0} + & \rho^2 \varepsilon_{-1} + & \cdots & \rho^{\infty} \varepsilon_{1-\infty} + \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \rho^0\varepsilon_{N-1} + & \rho^1 \varepsilon_{N-2} + & \rho^2 \varepsilon_{N-3} + & \cdots & \rho^{\infty} \varepsilon_{N-1-\infty} + \\ \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{N^2} Var\begin{pmatrix} \rho^0 \varepsilon_{N-1} + \\ (\rho^0 + \rho^1) \varepsilon_{N-2} + \\ (\rho^0 + \rho^1 + \rho^2) \varepsilon_{N-3} + \\ \cdots \\ (\rho^0 + \rho^1 + \rho^2 + \dots + \rho^{N-2}) \varepsilon_{1} + \\ (\rho^0 + \rho^1 + \rho^2 + \dots + \rho^{N-1}) \varepsilon_{0} + \\ (\rho^1 + \rho^2 + \rho^3 + \dots + \rho^{N}) \varepsilon_{-1} + \\ (\rho^2 + \rho^3 + \rho^4 + \dots + \rho^{N+1}) \varepsilon_{-2} + \\ \cdots\\ \end{pmatrix} \\ &= \frac{\sigma_{\varepsilon}^2}{N^2} \begin{pmatrix} \rho^0 + \\ (\rho^0 + \rho^1) + \\ (\rho^0 + \rho^1 + \rho^2) + \\ \cdots \\ (\rho^0 + \rho^1 + \rho^2 + \dots + \rho^{N-2}) + \\ (\rho^0 + \rho^1 + \rho^2 + \dots + \rho^{N-1}) + \\ (\rho^1 + \rho^2 + \rho^3 + \dots + \rho^{N}) + \\ (\rho^2 + \rho^3 + \rho^4 + \dots + \rho^{N+1}) + \\ \cdots\\ \end{pmatrix} \\ &= \frac{N \sigma_{\varepsilon}^2}{N^2} (\rho^0 + \rho^1 + \dots + \rho^{\infty}) \\ &= \frac{\sigma_{\varepsilon}^2}{N} \frac{1}{1 - \rho} \\ \end{align*} $$
Probablemente, no todos los pasos se hacen de la manera más obvia, así que permítanme añadir algunas ideas. En la tercera fila, acabo de escribir a dos signos de suma. Aquí, la matriz tiene N filas. En la cuarta fila, realineo la matriz para que haya una fila por cada épsilon, así que el número de filas es infinito aquí. Obsérvese que las tres últimas partes de la matriz tienen el mismo número de elementos, sólo que diferenciados por un factor $\rho$ en cada fila. En la quinta fila, aplico la regla de que la varianza de la suma de choques independientes es la suma de las varianzas de esos choques y observo que cada $\rho^j$ se resume el elemento $N$ tiempos.
El resultado final parece limpio, pero probablemente sea erróneo. ¿Por qué lo pienso? Porque hago un MCS en R y las cosas no cuadran:
nrMCS <- 10000
N <- 100
pers <- 0.9
means <- numeric(nrMCS)
for (i in 1:nrMCS) {
means[i] <- mean(arima.sim(list(order=c(1,0,0), ar=pers), n = N))
}
#quantile(means, probs=c(0.025, 0.05, 0.5, 0.95, 0.975))
#That is the empirical standard error
sd(means)
0.9459876
#This should be the standard error according to my formula
1/(N*(1-pers))
0.1Cualquier pista sobre lo que estoy haciendo mal sería genial. O tal vez una pista donde pueda encontrar la derivación correcta (no he podido encontrar nada). ¿Es el problema tal vez que asumo la independencia entre los mismos errores?
$$Var(X + X) = Var(2X) = 4Var(X) \neq 2Var(X)$$
Lo he pensado, pero no veo dónde hago esa suposición errónea en mi derivación.
ACTUALIZACIÓN
Me olvidé de cuadrar los rhos, como bien señaló Nuzhi. Por lo tanto, debería ser así:
$$ Var(\overline{x}) = \frac{\sigma_{\varepsilon}^2}{N^2} \begin{pmatrix} \rho^{2\times0} + \\ (\rho^0 + \rho^1)^2 + \\ (\rho^0 + \rho^1 + \rho^2)^2 + \\ \cdots \\ (\rho^0 + \rho^1 + \rho^2 + \dots + \rho^{N-2})^2 + \\ (\rho^0 + \rho^1 + \rho^2 + \dots + \rho^{N-1})^2 + \\ (\rho^1 + \rho^2 + \rho^3 + \dots + \rho^{N})^2 + \\ (\rho^2 + \rho^3 + \rho^4 + \dots + \rho^{N+1})^2 + \\ \cdots\\ \end{pmatrix} $$
