Me piden que encuentre un ejemplo de dos conjuntos conectados $X$ y $Y$ , $X \subset Y$ y $C$ un componente de $Y \setminus X$ de tal manera que $X \cup C$ no está conectado.
Me imaginé $X$ no debe ser cerrado porque entonces $X \cap C \neq \emptyset $ y $C \cup X$ estarían conectados. Pero eso es todo lo que tengo. Cualquier pista sería apreciada.
Tal vez sea exagerado, pero el Fan de Kuratowski encaja en la cuenta.
Tomando $Y=$ ventilador y $X=\{p\}$ el punto problemático (que, como es sólo un punto, está conectado), tenemos que $Y- X$ está totalmente desconectado. Por lo tanto, tome cualquier otro punto $C=\{q\}, q \in Y-X$ como un componente conectado. De ello se desprende que $X \cup C$ no está conectado (siendo un subespacio de dos puntos de $ \mathbb {R}^2$ ).
Ya sea o no $X$ está cerrado, $X \cap C$ está vacía. Es diferente con $C$ , que está cerrado en $Y \setminus X$ (siendo un componente). De ello se desprende que $ \overline {C} \cap Y \setminus X = C$ (cierre tomado en $Y$ ). También $ \overline {C} \cap X$ debe estar vacía (de lo contrario $X \cup C$ estaría conectado). De ahí que $ \overline {C} = C$ que significa $C$ está cerrado en $Y$ . Elija un punto en $Y \setminus (X \cup C)$ tomar el componente de $Y \setminus X$ en ese punto y repetir el argumento. Con un número finito de componentes $C_1, .. ,C_n$ disponible, todo cerrado en $Y$ todavía tenemos un subespacio desconectado $X \cup C_1 \cup .. \cup C_n$ que por lo tanto no puede ser el conjunto de $Y$ . Esto ofrece un punto novedoso en $Y \setminus X$ y otro componente $C_{n+1}$ y podemos continuar el argumento ad infinitum.
Así que al menos se puede ver que el ejemplo requerido debe tener una infinitamente fragmentada $Y \setminus X$ .
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