Cálculo alternativo de los valores propios de esta matriz tridiagonal

Question

Consideremos la matriz tridiagonal simétrica pd

$$ M=\begin{bmatrix} 2 & -1 &\dots \\ -1 & 2 &-1&\dots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots \\ 0 & \dots & -1 & 2 & -1 \\ 0 &\dots &\dots & -1 & 1\end{bmatrix}$$

La cuestión es cómo encontrar los valores y vectores propios de $M$ . Ya conozco una manera, que consiste en breve como introducir la secuencia sobre los componentes $\phi_i$ de un vector propio $\phi$ (la secuencia es $-\phi_{k-1}+2\phi_k-\phi_{k+1}=\lambda \phi_k$ ). Entonces es posible encontrar el término general y $\lambda$ utilizando el polinomio asociado a la secuencia. Después de algunas manipulaciones, el resultado final es: $$\lambda_k=2\Big(1-\cos\Big(\dfrac{(2k-1)\pi}{2n+1}\Big)\Big)$$ y los vectores propios vienen dados por $$\phi_k^{(i)}=\sin\Big(\dfrac{i(2k-1)\pi}{2n+1}\Big)$$ donde $i$ es el índice del componente y $k$ el índice del vector propio. Me preguntaba si alguien conoce otra forma de encontrar la eigendecomposición.

Answer 1

Respuesta parcial: Podemos encontrar los valores propios directamente a partir del polinomio característico.

Para simplificar, dejemos que $M_n$ sea el $n$ -versión dimensional de $M$ y que $D_n(z)$ denotan el polinomio característico $\det{(M_n - z I)}$ de $M_n$ . Si por comodidad definimos $D_0 = 1$ y $D_1 = 1 - z$ no debería ser demasiado difícil convencernos de que la secuencia de polinomios característicos satisface la recurrencia \begin{align} D_0 &= 1 \\ D_1 &= 1-z \\ D_{n+2} &= (2-z)D_{n+1} - D_n, \quad n \geq 2. \end{align} La solución a la recurrencia toma la forma $$ D_n(z) = c_+ r_+^n + c_- r_-^n, $$ donde $r_{\pm} = [(2-z) \pm \sqrt{(z-2)^2 - 4}]/2$ son las raíces del polinomio $x^2 - (2-z)x + 1$ . Utilizando los valores prescritos de $D_0$ y $D_1$ pronto descubrimos que $$ c_+ = \frac{1 - z - r_-}{r_+ - r_-}, \\ c_- = \frac{1 - z - r_+}{r_+ - r_-}, $$ tal que $$ D_n(z) = \frac{1 - z - r_-}{r_+ - r_-} r_+^n - \frac{1 - z - r_+}{r_+ - r_-} r_-^n. $$ Ahora haz la sustitución $z = 2(1- \cos{(\phi)})$ (Nota: en realidad deberíamos comprobar primero que los valores propios son reales y están confinados en $0 < \lambda < 4$ para hacerlo, pero no debería ser demasiado difícil). Después de un poco de trigonometría esto resulta como $$ D_n(\phi) = 2 \frac{\sin{(\phi/2)}}{\sin{(\phi)}} \cos{\left( \left(n + \frac{1}{2} \right)\phi \right)}. $$ Resolver $D_n(\phi) = 0$ da el resultado deseado $$ \phi = \frac{(2k-1)\pi}{2n+1}, \quad k = 1, \dots, n, $$ o $$ \lambda_k = z = 2 \left( 1 - \cos{\left( \frac{(2k-1)\pi}{2n+1} \right)} \right). $$ A partir de aquí, no creo que haya una forma más sencilla de encontrar los vectores propios que la que has utilizado, salvo que ahora sabemos $\lambda$ por adelantado.

Answer 2

Probablemente, una forma alternativa sea considerar esta matriz como una aproximación hasta un factor de la laplaciana 1d con condición de contorno dirichlet para x = 0 y neumann para x = 1. Entonces el vector propio es una versión discreta de una función propia continua que puede encontrarse resolviendo el correspondiente problema propio diferencial