Forma cerrada $\prod_{k=0}^n\binom{n}{k}x^ky^{n-k}$.

Question

Esto es bien conocido que tenemos :

$$\forall (x,y) \in \mathbb{C}^2, ~ \forall n \in \mathbb{N}^*, ~ (x+y)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^ky^{n-k}$$

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Ahora no sé si hay alguna posible aplicación, pero en las mismas condiciones (al menos para los números reales) es que hay una estrecha forma a éste?

$$\prod_{k=0}^n\binom{n}{k}x^ky^{n-k}$$

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Para los números reales, creo que en todos los casos (pero no estoy seguro) si hay un cierre el formulario puede verse como $A\times x^a y^b$ donde $A$ es un número entero entre el producto de los términos del binomio.

He mirado algunos valores en Wolfram-Alpha con $(x,1-x)$ $|x|<1$ para la diversión, pero tengo algunas dificultades para encontrar un formulario cerrar un mínimo de a $A$.

Yo estaría encantado con que si alguien tiene una idea.

Answer 1

Con un poco de álgebra $$\prod{k=0}^n\binom{n}{k}=\frac{(n!)^{n+1}}{\prod{k=0}^n(k!)^2}=\frac{(n!)^{n+1}}{(\prod{k=1}^nk^{n-k+1})^2}=\prod{k=1}^nk^{-n+2k-1}=\frac1{(n!)^{n+1}}\left(\color{red}{\prod_{k=1}^nk^k}\right)^2

donde la expresión en rojo no parece fácil simplificar. Por supuesto como @Thomas demostró en el comentario $$\prod_{k=0}^n x^ky^{n-k}=(xy)^{\binom{n+1}{2}}

EDIT: parece que podemos conseguir un analítico forma (pero no cerrado debido a la periodicidad de las funciones de $\tilde B_k$) para el término rojo utilizando la fórmula de Euler-Maclaurin, algo así como

$$\left(\prod{k=1}^nk^k\right)^2=\exp\left(\sum{k=1}^n 2k\ln k\right)=\exp\left(\int_1^n \left(2t\ln t+\frac{\tilde B_3(t)}{3t^2}\right)\mathrm dt+ \left(n+\frac16\right)\ln n\right)$$

donde $\tilde B_3$ es la $1$-extensión periódica del polinomio de Bernoulli en $[0,1]$

$$B_3(x)=x^3-\frac32x^2+\frac12x$$

Answer 2

Para complementar Masacroso respuesta, tenga en cuenta que el producto de $k^k$ puede escribirse como $$\eqalign{ & \prod\limits_{k = 1}^n {k^{\,k} } = \prod\limits_{k = 1}^n {\left( {{{\Gamma \left( {k + 1} \right)} \over {\Gamma \left( k \right)}}} \right)^{\,k} } = \cr Y = {{\Gamma (2)^{\,1} } \más de {\Gamma (1)^{\,1} }}{{\Gamma (3)^{\,2} } \más de {\Gamma (2)^{\,2} }}{{\Gamma (4)^{\,3} } \más de {\Gamma (3)^{\,3} }}\; \cdots \;{{\Gamma (n + 1)^{\n} } \over {\Gamma (n)^{\n} }} = \; \cr Y = {{\Gamma (n + 1)^{\n} } \over {\prod\limits_{1\, \le \,k\, \le \;n} {\Gamma (k)} }} = {{G(1)} \over {G(n + 1)}}\left( {n!} \right)^{\n} \cr}$$

donde $G(x)$ denota el Barnes G_Function

Answer 3

No hay ninguna forma "cerrada" para esta expresión, pero podemos reducir a otra forma: $$\prod{k=0}^n\binom{n}{k}x^ky^{n-k} = (xy)^{n(n+1)/2} \prod{k=0}^n \dfrac{n!}{k!(n-k)!} = (xy)^{n(n+1)/2} (n!)^{n+1} \prod{k=0}^n \dfrac{1}{k!(n-k)!} = \= (xy)^{n(n+1)/2} (n!)^{n+1}\prod{k=0}^n\dfrac{1}{k!}\prod{k=0}^n\dfrac{1}{(n-k)!} = (xy)^{n(n+1)/2} (n!)^{n+1}\left(\prod{k=0}^n\dfrac{1}{k!}\right)^2 = \ = (xy)^{n(n+1)/2} (n!)^{n+1}\dfrac{1}{1^2 \cdot 1^22^2 \cdot 1^22^23^2 \cdot \dots \cdot 1^22^2\dots n^2} = (xy)^{n(n+1)/2} (n!)^{n+1}\left(\prod_{k=1}^n\dfrac{1}{k^{n-k+1}}\right)^2