Es imposible en general. La razón es que la conexión riemanniana de LC en una variedad compacta es automáticamente completa. Este no es el caso en la configuración lorentziana.
Edición: Otra forma de pensar en este problema es mirar el grupo de holonomía de la conexión. Para una conexión LC la holonomía en un $n$ -manifold $M$ siempre es relativamente compacto en $GL(n,R)$ . Ver aquí para la lista completa de cierres de grupos de holonomía para conexiones LC en variedades simplemente conectadas. Por otra parte, en el entorno lorentziano, la holonomía está contenida (hasta la conjugación) en $O(n-1,1)$ (Estoy asumiendo que su métrica pseudo-riemanniana es de firma $(n-1,1)$ ). Así, la condición necesaria es que el grupo de holonomía sea conjugado en un subgrupo compacto de $O(n-1,1)$ .
Para ser más específicos: Supongamos que $n=2$ y $M$ es de conexión simple. Entonces la holonomía tiene que estar contenida en un subgrupo compacto conectado de $O(1,1)$ , lo que significa que es trivial. Por lo tanto, su métrica pseudo-riemanniana es localmente plana. Estoy bastante seguro de que esta condición es también suficiente para la existencia de una métrica riemanniana con la misma conexión LC (en el caso simplemente conectado).
Edición: También se tiene lo siguiente. Supongamos que $M$ es un colector simplemente conectado con una conexión compatible (sin torsión) $\nabla$ , $g$ es una métrica plana pseudo-riemanniana sobre $M$ (la firma y la dimensión no importan). A continuación, $M$ admite una métrica riemanniana plana con conexión LC $\nabla$ . Lo mismo ocurre si sustituimos la suposición de planitud por la suposición de que la holonomía de $\nabla$ es relativamente compacto (y deja caer la conectividad simple).
