Propiedades de los vectores propios generalizados

Question

Dejemos que $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ denotan alguna simetría, y $B\in\mathbb{R}^{n\times n}$ algún matriz definida positiva. El problema de valores propios generalizado, $[A, B]$ , corresponde a un par escalar-vectorial, $(\lambda, u)$ , satisfaciendo $$Au=\lambda Bu.$$

Cuál es la propiedad de los vectores propios generalizados $u$ Por ejemplo, ¿son mutuamente ortogonales? ¿Están relacionados de alguna manera con los vectores propios de $A$ (o $B$ )?

Answer 1

Si $B$ es invertible, entonces se puede reescribir esta ecuación como $B^{-1}Au=\lambda u$ , por lo que se obtiene una ecuación de vectores propios ordinarios, y así se obtienen todas las propiedades de los vectores propios normales.

Además, si $A$ es invertible, se puede reescribir la ecuación como $\lambda^{-1} u = A^{-1}Bu$ para obtener de nuevo un problema ordinario de valores propios (sin embargo, nótese que en este caso, los vectores de $B$ no pueden ser valores propios generalizados, a pesar de ser valores propios de $A^{-1}B$ porque $0$ no tiene inversa).

El caso interesante, por supuesto, es cuando $B$ no es invertible. Obviamente, si la intersección de los espacios nulos de $A$ y $B$ no desaparece, cada vector de esa intersección es un vector propio generalizado a un arbitrario valor propio generalizado (porque entonces la ecuación se reduce a $0=0$ independientemente de $\lambda$ ). Además, si $v_0$ está en la intersección de ambos espacios nulos, y $v$ es un vector propio generalizado con valor propio generalizado $\lambda$ entonces $v+v_0$ también lo es.

Si $v$ está en $A$ pero no en el espacio nulo de $B$ es un vector propio generalizado del valor propio generalizado $0$ . Si $v$ está en $B$ pero no en el espacio nulo de $A$ entonces no puede ser un valor propio generalizado.

Supongo que para los vectores $v\perp \operatorname{Ker}(B)$ el problema puede reducirse de nuevo a un problema ordinario de valores propios, pero actualmente no veo cómo.