"La música de los números primos" por Sautoy: Es $\sqrt x$ correcto?

Question

Recientemente he leído "La música de los números primos" por Marcus du Sautoy (ver extracto aquí >>>). Allí escribe:

"Así que, ¿son justos el primer número de dados? Los matemáticos llaman un dado "justo" si la diferencia entre el teórico y el comportamiento de los dados y el comportamiento real después de $N$ lanzamientos se encuentra dentro de la región de la raíz cuadrada de $N$. Las alturas de Riemann, los armónicos son dadas por el este-oeste coordenadas del punto correspondiente al nivel del mar. Si el east-west de coordenadas es$c$, entonces la altura de la ola crece como $N^c$. Esto significa que la contribución de este armónico para el error entre Gauss y supongo que el número real de los números primos se $N^c$. Así que si la Hipótesis de Riemann es correcta y $c$ siempre $1/2$, el error siempre va a ser $N^{1/2}$ (que es otra manera de escribir la raíz cuadrada de $N$). Si es true, la Hipótesis de Riemann significa que la Naturaleza del primer número de dados que son justos, sin dejar jamás más que la raíz cuadrada de $N$ de Gauss teórica del primer número de dados".

Sin embargo, sabemos por Helge von Koch (1901)[2] que si el Rieman Hipótesis verdadera, entonces: $$\pi(x)=Li(x)+\mathcal O(\sqrt x \log x)$$ donde $\pi(x)$ primer función de conteo y $Li(x)$ según Gauss.

Mi pregunta:

Es lo que Sautoy, dice la correcta? Es el error de hecho $(\sqrt x \log x)$ o como Sautoy estados $\sqrt x$? O no me malinterprete algo?

[2]: Von Koch, Helge (1901). "Sur la distribución de la des nombres estrena" (En la distribución de los números primos). Acta Mathematica (en francés). 24 (1): 159-182.

Answer 1

La declaración de du Sautoy es, de hecho, ligeramente impreciso como el término de error es conocido por ser ligeramente peor que $O( \sqrt{x})$.

Pero como usted dijo, es cerca de la verdad, y la mayor complejidad para una precisa declaración parece que no vale la pena en ese contexto.

Para ser claro es conocido que (ver más abajo para más detalles) $$\pi(x)-\operatorname{Li}(x) \ne O(\sqrt{x})$$

Sin embargo, du Sautoy, sólo da una vaga descripción de la situación, y uno no debe tratar de transcribir literalmente, y esperamos que sea cierto exactamente. Pero el error plazo es aproximadamente el $\sqrt{x}$, y para decir que este es el punto de la descripción. (De hecho, yo creo, pero habría que comprobar para asegurarse de que también las desviaciones en una caminata aleatoria dada por un dado no son, literalmente, delimitada por la raíz cuadrada.)

Nota a pesar de que el resultado que recordar no prueba que la afirmación es imprecisa. No podría ser aún mejor error-términos RH, de hecho hay mejor error-términos RH, pero no pueden ser tan buenos como los du Sautoy, dice.

Permítanme añadir que la referencia clásica de mostrar que la afirmación es imprecisa, es debido a Littlewood ("Sur la distribución de la des nombres estrenos." Las AGENCIAS de 1914), que muestran que el término de error es:$\Omega_{\pm}(\sqrt{x} \log \log \log x)$. Que es que hay una constante positiva $c$ de manera tal que el error plazo es mayor que $c\sqrt{x} \log \log \log x$ arbitrariamente grande,$x$; y también una negativa constante $c'$ que es menor que $-c\sqrt{x} \log \log \log x$ arbitrariamente grande,$x$.

Que es el término de error oscila y la amplitud es, al menos, de la orden de $\sqrt{x} \log \log \log x$.