Un poco más detallada de lo que Qiaochu dijo. Por desgracia mi respuesta, realmente no se expresa en términos de$r$$s$. Espero que todavía te ayuda de alguna manera.
Sabemos que $\Bbb{F}_p[X]\otimes \Bbb{F}_{p^n}\cong\Bbb{F}_{p^n}[X]$ y $\Bbb{F}_{p^n}$ es un plano $\Bbb{F}_p$-módulo. Consideremos la secuencia exacta corta
$$0\to\Bbb{F}_p[X]\to\Bbb{F}_p[X]\to\Bbb{F}_p[X]/\langle r\rangle\to0,$$
donde el primer mapa es la multiplicación por $r$, y el último módulo es isomorfo a $\Bbb{F}_{p^m}$. En tensoring con $\Bbb{F}_{p^n}$ esto da lugar a la secuencia exacta corta
$$0\to\Bbb{F}_{p^n}[X]\to\Bbb{F}_{p^n}[X]\to\Bbb{F}_{p^n}[X]/\langle r\rangle\to0.$$
Por lo tanto, una comparación de los últimos módulos de la muestra que
$$
\Bbb{F}_{p^m}\otimes \Bbb{F}_{p^n}\cong \Bbb{F}_{p^n}[X]/\langle r\rangle.
$$
El polinomio $r$ no tiene varios ceros en $\overline{\Bbb{F}_p}$, por lo que más del $\Bbb{F}_{p^n}$ factores en un producto de distintos factores
$$
r=\prod_{i=1}^t r_i
$$
para algunos polinomios irreducibles $r_i\in\Bbb{F}_{p^n}[X]$. Debido a que estos factores son distintos, el teorema del resto Chino nos dice que
$$
\Bbb{F}_{p^n}[X]/\langle r\rangle\cong\bigoplus_i \Bbb{F}_{p^n}[X]/\langle r_i\rangle.
$$
Tenga en cuenta que todo lo anterior se aplica igualmente bien a cualquier finito extensión de los campos de $L/K$. No es necesario para los campos de la $L,K$ a un ser finito. Sólo necesitamos el polinomio $r$ a ser separables, por lo que evitamos la posibilidad de repetirse factores.
El siguiente paso es, como Qiaochu señaló, específicos para las extensiones de Galois. Es decir, también podemos deducir que los factores de $r_i$ son Galois conjugados de cada uno de los otros. Cabe destacar que todos tienen el mismo grado. En el caso de campos finitos podemos ver esto de un modo más concreto, porque sabemos que el grupo de Galois se compone de los poderes de la Frobenius automorphism $F:x\mapsto x^p$.
Los ceros de $r$
$$
\alpha,\alpha^p,\alpha^{p^2},\ldots,\alpha^{p^{m-1}}
$$
donde $\alpha$ algunos (fijo) cero de $r$. Por ejemplo,$\alpha=X+\langle r\rangle$. Las raíces de uno de los factores $r_i$ son entonces las listas como
$$
\alpha^{p^i},\alpha^{p^{i+n}},\alpha^{p^{i+2n}},\ldots
$$
porque tenemos las listas de los conjugados mediante la aplicación de los poderes de $F^n$ a uno de ellos.
La lista original de $m$ raíces consistió en una única órbita del grupo de Galois $G=\langle F\rangle$. Esta lista está ahora dividido en órbitas de los
subgrupo $H=\langle F^n\rangle$. Hechos básicos acerca de las acciones de grupos cíclicos nos dice que el $H$de las órbitas todos tienen el tamaño de $m/\gcd(m,n)$, y que hay
$\gcd(m,n)$ de ellos. Por lo tanto, tenemos
$$
\Bbb{F}_{p^m}\otimes\Bbb{F}_{p^n}\cong\bigoplus_{i\in D}\Bbb{F}_{p^n}(\alpha^{p^i}),
$$
donde la $D=\{0,1,\ldots,\gcd(m,n)-1\}$ se compone de los representantes de las órbitas. Es fácil ver que todos los campos
$$\Bbb{F}_{p^n}(\alpha^{p^i})\cong \Bbb{F}_{p^\ell}$$
con $\ell=\operatorname{lcm}(m,n)$.
Resumen: $\Bbb{F}_{p^m}\otimes\Bbb{F}_{p^n}$ es isomorfo a una suma directa de $\gcd(m,n)$ copias de $\Bbb{F}_{p^\ell}$ donde $\ell=\operatorname{lcm}(m,n)$. En particular, $\Bbb{F}_{p^m}\otimes\Bbb{F}_{p^n}$ es un campo si y sólo si $\gcd(m,n)=1$.
